3.6 A temperatura crítica do etano é
e a pressio crítica é
. Calcule o volume crítico usando a) a equação do gás ideal, b) a equação de van der Waals, lembrando que para um gás de van der Waals
, c) a equaçio modificada de Berthelot. d) Compare os resultados com o valor experimental,
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
- Temperatura crítica do etano:
. - Pressão crítica do etano:
. - Valor experimental do volume crítico:
.
Observações úteis (que vou usar):
- Converter
para Kelvin:
- A pressão já está em
, então é conveniente usar a constante dos gases na unidade :
O enunciado pede:
(a) calcular usando a equação do gás ideal;
(b) calcular usando a equação de van der Waals, sabendo que
para van der Waals;
(c) calcular usando a equação modificada de Berthelot;
(d) comparar os resultados com o valor experimental .
(a) calcular
(b) calcular
(c) calcular
(d) comparar os resultados com o valor experimental
Passo 2
(a) Ideal gas — método e explicação do conceito usado.
A equação do gás ideal é a lei bem conhecida:
onde
é a pressão (por mol),
é o volume molar,
é a constante dos gases e
é a temperatura. Se aplicarmos a esta equação no ponto crítico (tratando o fluido momentaneamente como gás ideal), temos:
Explicando com calma: rearranjamos
isolando
; todas as variáveis estão definidas no passo 1.
Agora calculo numericamente:
Faço a multiplicação do numerador:
Dividindo:
Interpretação rápida: o gás ideal superestima bastante o volume crítico (esperávamos algo perto de
), porque nas condições críticas as forças intermoleculares e o tamanho finito das moléculas importam — coisas que o gás ideal ignora.
Passo 3
(b) Equação de van der Waals — uso da relação fornecida e explicação.
O enunciado já nos deu a relação característica no ponto crítico para van der Waals:
Isto é uma relação adimensional que resulta das constantes de van der Waals avaliadas no ponto crítico. Para obter
isolamos:
Note que é exatamente
do resultado do gás ideal (porque gás ideal daria
).
Substituo numericamente:
Didaticamente: a equação de van der Waals incorpora dois parâmetros (um que representa o volume finito das moléculas e outro que representa atração intermolecular) e, ao exigir as condições de ponto crítico (derivadas nulas), chega-se a essa constante
. O resultado é muito melhor que o do gás ideal, mas ainda fica acima do valor experimental, porque van der Waals é um modelo simples.
Passo 4
(c) Equação modificada de Berthelot — derivação curta e cálculo.
Primeiro, escrevo a forma da equação de Berthelot modificada (a forma mais comum é):
onde
e
são constantes do modelo e dependem do fluido. Explico o que significa cada termo:
- O termo
é análogo ao termo de pressão corrigido pela exclusão de volume (como em van der Waals). Aqui representa o volume excluído por moléculas. - O termo
representa forças atrativas entre moléculas, com dependência inversa de e também de , característica do modelo de Berthelot.
Para encontrar relações entre
e as propriedades críticas usamos as condições do ponto crítico:
Faço as derivadas (mostrando os passos):
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Impondo as condições críticas em
e
e igualando a zero as duas derivadas, obtemos duas equações que, depois de manipulações algébricas (dividindo uma pela outra), levam a:
Isto é idêntico ao que se acha para van der Waals: o volume crítico é três vezes
.
Continuando a manipulação (substituindo
nas expressões), deduz-se também que
Portanto, a relação adimensional é a mesma da van der Waals, e concluímos:
ou seja, numericamente dá exatamente o mesmo que no item (b).
Portanto, calculando:
Comentário didático: apesar de Berthelot ter dependência em
no termo atrativo, a combinação das condições críticas acaba levando à mesma razão adimensional
. Por isso, com os dados
e
fornecidos, os dois modelos fornecem o mesmo
.
Passo 5
(d) Comparação com o valor experimental — avaliação dos erros.
Valores obtidos:
- Ideal gas:
- van der Waals:
- Berthelot (mod.):
Comparando com
, calculo o erro relativo percentual:
- Erro (gás ideal):
- Erro (van der Waals):
- Erro (Berthelot):
Interpretação curta e motivadora: o modelo do gás ideal falha muito nas condições críticas (porque ignora volume molecular e forças intermoleculares). Van der Waals e Berthelot corrige fatores físicos importantes e, embora melhorem bastante, ainda têm erro residual porque são modelos simples; fluidos reais podem precisar de equações de estado mais sofisticadas para predição mais precisa.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d) Erros relativos em relação a : gás ideal
; van der Waals
; Berthelot
.
(b)
(c)
(d) Erros relativos em relação a