Encontre uma relação que expresse a dependência linear de y em relação a x satisfazendo às seguintes informações:
x 2 10
y 5 3

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • São dadas duas observações da relação linear entre x e y:
    • Quando x=2, então y=5.
    • Quando x=10, então y=3.
  • O enunciado pede: encontrar uma relação linear que expresse y em função de x que satisfaça esses dois pares de valores.

Passo 2

O modelo geral de uma relação linear entre y e x é
y = m x + b,
onde:
  • m é a inclinação (ou coeficiente angular): indica quanto y varia quando x aumenta de uma unidade (a taxa de variação).
  • b é o coeficiente linear (ou intercepto): é o valor de y quando x=0.
Para determinar m e b a partir de dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) usa-se a fórmula da inclinação:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Esta fórmula vem da ideia de "diferença de y dividida pela diferença de x" — a razão de variação entre os dois pontos.

Passo 3

Aplicando a fórmula da inclinação aos pontos dados (x_1,y_1)=(2,5) e (x_2,y_2)=(10,3):
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-5}{10-2}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}.
Portanto a inclinação é m=-\dfrac{1}{4}. Interpretação rápida: quando x aumenta de uma unidade, y diminui em \dfrac{1}{4} unidade.

Passo 4

Agora encontramos b substituindo um dos pontos na equação y = m x + b. Usando o ponto (2,5):
5 = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 2 + b.
Calcule o termo:
\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}.
Então
5 = -\frac{1}{2} + b \quad\Rightarrow\quad b = 5 + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}.
Verificação (importante para ter certeza): usando o outro ponto (10,3),
3 = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 10 + b = -\frac{10}{4} + b = -\frac{5}{2} + b,
logo
b = 3 + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} + \frac{5}{2} = \frac{11}{2},
coincide com o valor anterior. Ótimo — consistente.

Passo 5

Escrevendo a relação linear final substituindo m e b:
y = -\frac{1}{4}x + \frac{11}{2}.
Alternativas equivalentes (às vezes mais convenientes em prova):
4y = -x + 22
ou
x + 4y = 22.
Interpretação rápida: a reta tem declive negativo ( m=-\dfrac{1}{4}), então y decresce lentamente quando x aumenta; o intercepto \dfrac{11}{2} é o valor de y em x=0.

Passo 6

Exemplo de uso prático: para x=6,
y = -\frac{1}{4}\cdot 6 + \frac{11}{2} = -\frac{6}{4} + \frac{11}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{11}{2} = \frac{8}{2} = 4,
ou seja, a reta prevê y=4 quando x=6. Isso mostra como usar a fórmula na prova: plugue o x e calcule.

Resposta

y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{11}{2}

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