Use o teorema 4.12 para provar que a sequência dada é convergente.
a_{n}=\frac{3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{3^{n}}{n!}
e pede para provar que essa sequência é convergente usando o Teorema 4.12. Ou seja:
  • Dado: a_n=\dfrac{3^n}{n!} para n\in\mathbb{N}.
  • Pedido: provar que \{a_n\} converge e determinar o seu limite.

Passo 2

Vou enunciar explicitamente o que chamo de Teorema 4.12 (forma usual do teste da razão para sequências) e explicar cada parte, porque a prova vai usá-lo.
Teorema 4.12 (teste da razão para sequências).
\text{Se existe }L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\quad\text{com }L<1,\text{ então }a_n\to0.ã
Explicação do que cada símbolo significa:
  • a_n é a sequência dada.
  • \dfrac{a_{n+1}}{a_n} é a razão entre termos consecutivos da sequência.
  • L é o limite (se existir) dessa razão quando n cresce sem limite.
  • A conclusão a_n\to0 significa \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Breve ideia da prova do teorema (útil para entender por que funciona):
  • Se L<1, existe um número r com L<r<1.
  • Pelo limite, existe N tal que para todo n\ge N tem-se \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|<r.
  • Assim, para n\ge N, |a_{N+1}|<r|a_N|,\quad |a_{N+2}|<r|a_{N+1}|<r^2|a_N|,\quad\text{etc.}por indução chega-se a |a_n|<|a_N|\,r^{\,n-N}.
  • Como 0<r<1, temos r^{\,n-N}\to0 quando n\to\infty, logo |a_n|\to0, isto é, a_n\to0.
    Essa é a razão pela qual o teste da razão garante convergência para zero quando o limite da razão é menor que 1.

Passo 3

Agora aplico o Teorema 4.12 à sequência dada. Primeiro calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{3^{\,n}}{n!}} = \frac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^{\,n}}.

Passo 4

Simplifico a expressão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{\,n}\cdot 3}{3^{\,n}}\cdot\frac{n!}{(n+1)n!} = \frac{3}{n+1}.
Portanto a razão entre termos consecutivos é \dfrac{3}{n+1}.

Passo 5

Calculo o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}=0.
Como 0<1, o Teorema 4.12 pode ser aplicado (temos L=0<1).

Passo 6

Pelo Teorema 4.12, da condição \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0<1 segue que a_n\to0. Em palavras: a razão entre termos consecutivos fica arbitrariamente pequena quando n cresce, o que força os termos a irem para zero.

Passo 7

Intuição adicional (não necessária para a prova, mas útil): o fatorial n! cresce muito mais rápido do que a potência 3^n, então a fração \dfrac{3^n}{n!} fica cada vez menor; numericamente nota-se que a_1=3, a_2=\tfrac{9}{2}=4{,}5, a_3=\tfrac{27}{6}=4{,}5, a_4=\tfrac{81}{24}=3{,}375, e depois vai decrescendo até se aproximar de zero.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0

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