Encontre a representação das curvas em coordenadas polares:
(x-1)^{2}+y^{2}=4;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a representação da curva dada pela equação em coordenadas polares. A equação fornecida é:
(x-1)^{2}+y^{2}=4.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • É a equação de uma curva no plano cartesiano (uma circunferência com centro em (1,0) e raio 2).
  • Precisa-se reescrever essa mesma curva usando coordenadas polares (r,\theta).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares e a relação com coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde:
  • r é a distância do ponto à origem (sempre \;r\ge 0 se escolhermos a convenção usual),
  • \theta é o ângulo que o raio vetor faz com o eixo x.
    Essas fórmulas são a ferramenta que vamos usar para transformar a equação dada em função de r e \theta.

Passo 3

Substituímos x e y por r\cos\theta e r\sin\theta na equação (x-1)^{2}+y^{2}=4. Fazendo a substituição:
(r\cos\theta - 1)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = 4.
Agora vamos expandir e simplificar passo a passo. Primeiro expandindo o quadrado:
(r\cos\theta - 1)^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta - 2r\cos\theta + 1.
Somando com (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta obtemos:
r^{2}\cos^{2}\theta - 2r\cos\theta + 1 + r^{2}\sin^{2}\theta = 4.
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, juntamos os termos em r^{2}:
r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) - 2r\cos\theta + 1 = 4,
ou seja
r^{2} - 2r\cos\theta + 1 = 4.
Finalmente isolamos tudo para obter uma equação simples em r:
r^{2} - 2r\cos\theta - 3 = 0.

Passo 4

Observação: a equação obtida é uma equação quadrática em r (para cada valor de \theta fixo). Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação do tipo
ar^{2}+br+c=0,
a solução é
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
No nosso caso a=1, b=-2\cos\theta e c=-3. Então o discriminante é:
\Delta = b^{2}-4ac = (-2\cos\theta)^{2} - 4\cdot1\cdot(-3) = 4\cos^{2}\theta + 12.
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta} = \sqrt{4\cos^{2}\theta + 12} = 2\sqrt{\cos^{2}\theta + 3}.

Passo 5

Aplicando a fórmula quadrática:
r = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\cos\theta \pm 2\sqrt{\cos^{2}\theta + 3}}{2}.
Simplificando:
r = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^{2}\theta + 3}.
Portanto existem duas raízes formais:
r_{+}(\theta)=\cos\theta + \sqrt{\cos^{2}\theta + 3}, \qquad r_{-}(\theta)=\cos\theta - \sqrt{\cos^{2}\theta + 3}.
Agora um comentário prático sobre qual escolher: note que \sqrt{\cos^{2}\theta + 3}>\sqrt{\cos^{2}\theta}=|\cos\theta|, logo r_{-}(\theta)=\cos\theta - \sqrt{\cos^{2}\theta + 3}<0 para todo \theta. Se adotarmos a convenção usual r\ge 0 em coordenadas polares, descartamos r_{-} e ficamos com a única representação com r não-negativo:
r(\theta)=\cos\theta + \sqrt{\cos^{2}\theta + 3}.
Se aceitarmos r negativo (forma alternativa de representar pontos polares, interpretando r_{-}<0 como um ponto com raio |r_{-}| e ângulo \theta+\pi), então r_{-} também descreve a mesma curva, mas normalmente para escrever uma fórmula direta em r\ge0 usamos r_{+}.
Exemplos numéricos rápidos para conferir:
  • Para \theta=0: \cos0=1, r=1+\sqrt{1+3}=1+2=3. Em cartesiano x=3, y=0, que verifica (3-1)^{2}+0^{2}=4.
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0, r=\sqrt{3}. Em cartesiano x=0, y=\sqrt{3}, que verifica (0-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1+3=4.

Resposta

r(\theta)=\cos\theta + \sqrt{\cos^{2}\theta + 3}

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