Encontre a representação das curvas em coordenadas polares:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a representação da curva dada pela equação em coordenadas polares. A equação fornecida é:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- É a equação de uma curva no plano cartesiano (uma circunferência com centro em
e raio ). - Precisa-se reescrever essa mesma curva usando coordenadas polares
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares e a relação com coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares:
onde:
-
é a distância do ponto à origem (sempre se escolhermos a convenção usual), -
é o ângulo que o raio vetor faz com o eixo .
Essas fórmulas são a ferramenta que vamos usar para transformar a equação dada em função dee .
Passo 3
Substituímos
e
por
e
na equação
. Fazendo a substituição:
Agora vamos expandir e simplificar passo a passo. Primeiro expandindo o quadrado:
Somando com
obtemos:
Como
, juntamos os termos em
:
ou seja
Finalmente isolamos tudo para obter uma equação simples em
:
Passo 4
Observação: a equação obtida é uma equação quadrática em
(para cada valor de
fixo). Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação do tipo
a solução é
No nosso caso
,
e
. Então o discriminante é:
A raiz quadrada do discriminante é
Passo 5
Aplicando a fórmula quadrática:
Simplificando:
Portanto existem duas raízes formais:
Agora um comentário prático sobre qual escolher: note que
, logo
para todo
. Se adotarmos a convenção usual
em coordenadas polares, descartamos
e ficamos com a única representação com
não-negativo:
Se aceitarmos
negativo (forma alternativa de representar pontos polares, interpretando
como um ponto com raio
e ângulo
), então
também descreve a mesma curva, mas normalmente para escrever uma fórmula direta em
usamos
.
Exemplos numéricos rápidos para conferir:
- Para
: , . Em cartesiano , , que verifica . - Para
: , . Em cartesiano , , que verifica .