Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Cilindro parabólico
Cilindro parabólico
Passo 1
O enunciado pede para representar parametricamente o cilindro parabólico dado por z = 3y² e encontrar um vetor normal à superfície. Vamos usar teoria de superfícies paramétricas e produto vetorial para achar o normal.
Passo 2
Para parametrizar, basta escolher dois parâmetros que percorram toda a superfície. Como z depende só de y, podemos tomar u = x e v = y. Assim, x = u e y = v.
Com esses parâmetros, definimos a função vetor
Com esses parâmetros, definimos a função vetor
Essa é a representação paramétrica da superfície.
Passo 3
Agora calculamos os vetores tangentes obtidos pelas derivadas parciais:
Esses vetores são tangentes à superfície.
Passo 4
O vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial
Fazendo as contas:
Esse vetor é normal à superfície em cada ponto parametrizado por (u,v).
Resposta
Uma parametrização é
Um vetor normal correspondente é