Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Cilindro parabólico z=3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para representar parametricamente o cilindro parabólico dado por z = 3y² e encontrar um vetor normal à superfície. Vamos usar teoria de superfícies paramétricas e produto vetorial para achar o normal.

Passo 2

Para parametrizar, basta escolher dois parâmetros que percorram toda a superfície. Como z depende só de y, podemos tomar u = x e v = y. Assim, x = u e y = v.
Com esses parâmetros, definimos a função vetor
r(u,v) = (x, y, z) = (u,;v,;3v^2)
Essa é a representação paramétrica da superfície.

Passo 3

Agora calculamos os vetores tangentes obtidos pelas derivadas parciais:
ru = partialrpartial u = (1,;0,;0),
rv = partialrpartial v = (0,;1,;6v)
Esses vetores são tangentes à superfície.

Passo 4

O vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial
n = ru times rv
Fazendo as contas:
n = i & j & k n1 & 0 & 0 n0 & 1 & 6v = (0,;-6v,;1)
Esse vetor é normal à superfície em cada ponto parametrizado por (u,v).

Resposta

Uma parametrização é
r(u,v) = (u,;v,;3v^2), u,vinR
Um vetor normal correspondente é
n(u,v) = (0,;-6v,;1)

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