Mostre como encontrar a integral das funções abaixo
f(x)=raizx^3+1x de x=1 até x=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida da função f(x)=raizx^3+tfrac1x no intervalo de x=1 até x=4. Esse cálculo envolve duas partes principais da integração: a regra de potência para x^n e a integral de x^-1, que gera logaritmo.

Passo 2

Para organizar o cálculo, reescrevemos raizx^3 como x^3/2 e separamos a integral em duas:
integral1^4f(x),dx=integral1^4x^3/2,dx+integral1^4x^-1,dx

Passo 3

Agora usamos as fórmulas de antiderivada: para nneq-1 vale
integral x^n,dx=x^n+1n+1
e para x^-1 temos
integral x^-1,dx=ln|x|
Logo, uma primitiva comum é
F(x)=25x^5/2+ln|x|

Passo 4

Precisamos então avaliar F(x) de 1 até 4:
integral1^4f(x),dx=F(4)-F(1) =l(25,4^5/2+ln4r)-l(25,1^5/2+ln1r)

Passo 5

Basta calcular cada termo: 4^5/2=(raiz4)^5=2^5=32, ln1=0. Assim
F(4)-F(1)=25cdot32+ln4-25=645-25+ln4=625+ln4

Resposta

625+ln4

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