Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Esfera
Esfera
Passo 1
O enunciado pede a representação paramétrica e um vetor normal da esfera
. O conteúdo envolve superfícies paramétricas (usar coordenadas esféricas) e vetores normais de superfícies definidas implicitamente (usar gradiente).
Passo 2
Primeiro identificamos o centro e o raio da esfera: comparando com
, vemos que o centro é
e o raio vale
. Em coordenadas esféricas usamos dois parâmetros
(colatitude) e
(longitude) para cobrir toda a esfera.
Passo 3
A parametrização na forma
fica:
com
e
.
Passo 4
Para achar um vetor normal, definimos a função implícita
O gradiente
dá um vetor normal em cada ponto:
Logo, podemos tomar como vetor normal simples
Se quisermos o versor normal unitário, basta dividir por
.
Resposta
Uma parametrização da esfera é
Um vetor normal é
ou, em cada ponto paramétrico,