Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Esfera (x-1)^2+(y+2)^2+z^2=25

Passo 1

O enunciado pede a representação paramétrica e um vetor normal da esfera (x-1)^2+(y+2)^2+z^2=25. O conteúdo envolve superfícies paramétricas (usar coordenadas esféricas) e vetores normais de superfícies definidas implicitamente (usar gradiente).

Passo 2

Primeiro identificamos o centro e o raio da esfera: comparando com (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2, vemos que o centro é (1,-2,0) e o raio vale R=5. Em coordenadas esféricas usamos dois parâmetros u (colatitude) e v (longitude) para cobrir toda a esfera.

Passo 3

A parametrização na forma r(u,v) fica:
r(u,v)=l(1+5sin ucos v,;-2+5sin usin v,;5cos ur),
com uin[0,pi] e vin[0,2pi].

Passo 4

Para achar um vetor normal, definimos a função implícita
F(x,y,z)=(x-1)^2+(y+2)^2+z^2-25
O gradiente nabla F dá um vetor normal em cada ponto:
nabla F=(2(x-1),;2(y+2),;2z)
Logo, podemos tomar como vetor normal simples
n(x,y,z)=(x-1,;y+2,;z)
Se quisermos o versor normal unitário, basta dividir por |nabla F|=2R=10.

Resposta

Uma parametrização da esfera é
r(u,v)=l(1+5sin ucos v,;-2+5sin usin v,;5cos ur), uin[0,pi],;vin[0,2pi]
Um vetor normal é
n(x,y,z)=(x-1,;y+2,;z),
ou, em cada ponto paramétrico,
n(u,v)=(5sin ucos v,;5sin usin v,;5cos u)

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