Mostre como encontrar a transformada de Laplace sen(t) de

Passo 1

Estamos com a função f(t)=sin(t) e queremos encontrar Lf(t)=F(s). O conteúdo usado é a definição de transformada de Laplace F(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt e vamos aplicar integração por partes duas vezes.

Passo 2

Inserindo a definição, temos
F(s)=integral0^inftye^-stsin(t),dt
Para avaliar, fazemos integração por partes escolhendo u=sin(t) e dv=e^-st,dt. Isso leva a
F(s)=1sintegral0^inftye^-stcos(t),dt
já que o termo de contorno se anula para s>0.

Passo 3

Chamando
J=integral0^inftye^-stcos(t),dt
fazemos integração por partes com u=cos(t) e dv=e^-st,dt. Obtemos
J=1s-1sF(s)

Passo 4

Voltando à expressão de F(s), substituímos J:
F(s)=1sJ=1sl(1s-1sF(s)r)=1s^2-1s^2F(s)
Rearranjando,
F(s)+1s^2F(s)=1s^2Longrightarrow F(s)l(1+1s^2r)=1s^2Longrightarrow F(s)=1s^2+1

Resposta

Lsin(t)=dfrac1s^2+1

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