Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Plano 5 x+y-3 z=30

Passo 1

Resumo da questão: queremos a forma paramétrica e um vetor normal do plano dado por 5x + y - 3z = 30. O conteúdo aqui é geometria analítica de planos, e vamos usar a ideia de que qualquer plano pode ser descrito por um ponto nele e dois vetores diretores que formam um sistema de vetores que gera o plano.

Passo 2

Identificação do vetor normal: um plano na forma ax + by + cz = d tem vetor normal n = (a, b, c). Aqui basta ler os coeficientes:
Extração do vetor normal:
n = (5,,1,,-3)

Passo 3

Escolha de um ponto no plano: para montar a forma paramétrica, precisamos de um ponto P0 que satisfaça a equação. Se fixarmos y = 0 e z = 0, a equação vira 5x = 30, então
P0 = (6,,0,,0)

Passo 4

Construção de vetores diretores: vetores diretores são aqueles perpenticulares a n, ou seja, 5a + b - 3c = 0. Podemos escolher soluções inteiras de forma simples. Por exemplo, tomando a = 3, b = 0 e resolvendo 5cdot3 + 0 - 3c = 0 c = 5, então
v1 = (3,,0,,5)

Passo 5

Outra escolha: tomar a = 1, c = 0 e resolver 5cdot1 + b - 0 = 0 b = -5, assim
v2 = (1,,-5,,0)

Passo 6

Montagem da forma paramétrica: qualquer ponto (x,y,z) do plano é dado por
(x,y,z) = P0 + s,v1 + t,v2, s,tinR
Explicitação em coordenadas: substituindo P0, v1 e v2, fica
x = 6 + 3s + t,y = 0 + 0,s - 5t = -5t,z = 0 + 5s + 0,t = 5s

Resposta

Representação paramétrica do plano:
x = 6 + 3s + t, y = -5t, z = 5s,
Vetor normal: n = (5,,1,,-3).

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