Mostre como encontrar a transformada de Laplace e^2 t de

Passo 1

A questão pede a transformada de Laplace de f(t)=e^{2t}. O conteúdo é transformada de Laplace, definida por Lf(t)=integral0^infty e^-stf(t),dt. Vamos usar essa definição e as propriedades de exponenciais.

Passo 2

Substituindo f(t)=e^{2t} na definição, obtemos
Le^2t=integral0^infty e^-ste^2t,dt=integral0^infty e^-(s-2)t,dt

Passo 3

Para calcular integral0^infty e^-(s-2)t,dt, lembramos que a primitiva de e^-a t (com Re(a)>0) é -tfrac1a e^-a t. Assim,
integral0^infty e^-(s-2)t,dt=[-1s-2e^-(s-2)t]0^infty

Passo 4

Avaliação dos limites: como Re(s-2)>0, temos e^-(s-2)tto0 quando ttoinfty, e em t=0 vale 1. Logo o valor da integral é 1/(s-2) e a condição de convergência é Re(s)>2.

Resposta

Le^2t=\frac{1}{s-2},\quad \mathrm{Re}(s)>2)

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