Mostre como encontrar a transformada de Laplace e^t de

Passo 1

Vamos reformular o enunciado: precisamos calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^t. O conteúdo é transformada de Laplace, que se baseia em uma integral imprópria.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t) é:
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt

Passo 3

Substituímos f(t)=e^t na definição e obtemos:
Le^t(s)=integral0^inftye^-ste^t,dt=integral0^inftye^-(s-1)t,dt

Passo 4

Para calcular a integral integral0^inftye^-(s-1)t,dt, usamos o resultado
integral0^inftye^-a t,dt=1a, a>0
Aqui a=s-1, então precisamos de s-1>0 para que a integral converja.

Passo 5

Aplicando esse resultado, ficamos com:
Le^t(s)=1s-1,, s>1

Resposta

Le^t(s)=1s-1, válida para s>1.

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