ENCONTRE A REPRESENTAÇÃO POR SÉRIE DE FOURIER PARA OS SINAIS:
x(t)=sen omega0 t+12 sen 2 omega0 t+13 sen 3 omega0 t+cos 4 omega0 t

Passo 1

Beleza, o enunciado manda encontrar a série de Fourier de

O conteúdo é Séries de Fourier (forma trigonométrica e exponencial). Para isso a gente precisa lembrar:
1) a forma trigonométrica geral
2) como ler diretamente os coeficientes x(t)=sen(omega0t)+tfrac12,sen(2omega0t)+tfrac13,sen(3omega0t)+cos(4omega0t), e comparando expressão
3) opcionalmente converter pra forma exponencial via .

Passo 2

Primeiro, a frequência angular fundamental já é dada como T=2piomega0, , então o período é
x(t)=a0+sumn=1^inftyl[ancos(nomega0 t)+bnsin(nomega0 t)r]
A forma trigonométrica geral de uma série de Fourier periódica de período é

Passo 3

Agora só precisamos comparar termo a termo a nossa expressão com
x(t)=underbracea0constante+sumn=1^inftyl[ancos(nomega0 t)+bnsin(nomega0 t)r]
No nosso caso:
– só tem senos para , ou seja , , ;
– só tem cosseno para , ou seja ;
– não há termo constante, então ;
– e todos os outros (para ) são zero.

Passo 4

Então, resumindo os coeficientes trigonométricos:
a0=0, an= 1,&n=4, 0,&caso contrário, bn= 1,&n=1, tfrac12,&n=2, tfrac13,&n=3, 0,&caso contrário áá
Logo a forma trigonométrica fica
boxed x(t) =sumn=1^inftyl[ancos(nomega0 t)+bnsin(nomega0 t)r] =cos(4omega0t)+sin(omega0t) +tfrac12sin(2omega0t)+tfrac13sin(3omega0t)

Passo 5

Se quisermos a forma exponencial, lembramos que
cn=an - j,bn2, c-n=an + j,bn2,
e . Aplicando isso:
– Para : .
– Para : .
– Para : .
– Para : .
O resto é zero.

Resposta

Forma trigonométrica:
x(t)=cos(4omega0t)+sin(omega0t) +tfrac12sin(2omega0t)+tfrac13sin(3omega0t),
com
a0=0,; a4=1,; b1=1,; b2=tfrac12,; b3=tfrac13,
e todos os outros x(t)=sumk=-infty^inftyck,e^jkomega0t, .
Forma exponencial:
cpm1=pmtfracj2, cpm2=pmtfracj4, cpm3=pmtfracj6, cpm4=tfrac12,
onde
e o resto .

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