Resolva a equação integro-diferencial a seguir
2 d xd t+5 x+3 integral0^t x d t+4=sen 4 t, x(0)=1

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra resolver a equação integro-diferencial
2,dxdt + 5,x(t) + 3integral0^t x(s),ds + 4 = sin(4t), x(0)=1
Conteúdo: equações integrais e diferenciais.
O que vamos usar:
  • Diferenciar ambos os lados pra eliminar a integral (Teorema Fundamental do Cálculo).
  • Resolver a ODE de 2ª ordem resultante (coeficientes constantes).
  • Método dos coeficientes indeterminados pra parte forçada.
  • Aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Derivando toda a equação em relação a ddtl(2x' + 5x + 3!integral0^tx(s),ds +4r) = ddtl(sin(4t)r) :
2x'' + 5x' + 3x = 4cos(4t)
No lado esquerdo temos
  • ,
  • ,
  • (por F.T.C.),
  • .
    No direito, .
    Logo a ODE vira

Passo 3

Antes de resolver essa ODE, precisamos de 2x'(0) + 5x(0) + 3integral0^0x(s),ds + 4 = sin(0) ;Longrightarrow; 2x'(0) + 5cdot1 + 0 + 4 = 0 . Volta na equação original em 2x'(0) +9 =0 Longrightarrow x'(0) = -92 :

Passo 4

Resolvendo a parte homogênea
2x'' + 5x' + 3x = 0:
a equação característica é
2r^2 + 5r + 3 = 0 ;Longrightarrow; r = -5pmraiz25-244 = -1,,-tfrac32
Logo a solução complementar é
xh(t) = C1e^-t + C2e^-tfrac32t

Passo 5

Agora a solução particular, chute do tipo
xp(t) = Acos(4t) + Bsin(4t)
Calcule 2x'' +5x' +3x = 4cos(4t), e -29A +20B = 4, -20A -29B = 0 , substitua em
A = -1161241, B = 801241
junte os termos em e e compare com . Isso gera o sistema
Resolvendo, achamos

Passo 6

A solução geral da ODE é
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1e^-t + C2e^-tfrac32t - 1161241cos(4t) + 801241sin(4t)

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais:
  1. C1 + C2 - tfrac1161241 = 1 ;Longrightarrow; C1 + C2 = 13571241
-,C1 - tfrac32C2 + 4B = -tfrac92 ;Longrightarrow; -,C1 - tfrac32C2 + 3201241 = -92
  1. C1 = -77381241, C2 = 90951241 dá, ao derivar e pôr ,
Resolvendo esse sistema para , obtemos

Resposta

A solução da equação integro-diferencial é
boxed x(t) = -77381241,e^-t ;+;90951241,e^-tfrac32t ;-;1161241cos(4t) ;+;801241sin(4t)

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