Resolva a equação integro-diferencial a seguir
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra resolver a equação integro-diferencial
Conteúdo: equações integrais e diferenciais.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Diferenciar ambos os lados pra eliminar a integral (Teorema Fundamental do Cálculo).
- Resolver a ODE de 2ª ordem resultante (coeficientes constantes).
- Método dos coeficientes indeterminados pra parte forçada.
- Aplicar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Derivando toda a equação em relação a
:
No lado esquerdo temos
-
, -
, -
(por F.T.C.), -
.
No direito,.
Logo a ODE vira
Passo 3
Antes de resolver essa ODE, precisamos de
. Volta na equação original em
:
Passo 4
Resolvendo a parte homogênea
a equação característica é
Logo a solução complementar é
Passo 5
Agora a solução particular, chute do tipo
Calcule
e
, substitua em
junte os termos em
e
e compare com
. Isso gera o sistema
Resolvendo, achamos
Passo 6
A solução geral da ODE é
Passo 7
Agora aplicamos as condições iniciais:
-
dá
-
dá, ao derivar e pôr ,
Resolvendo esse sistema para
, obtemos
Resposta
A solução da equação integro-diferencial é