ENCONTRE A REPRESENTAÇÃO POR SÉRIE DE FOURIER PARA OS SINAIS:
X(t)=sen omega0 t+cos omega0 t, omega0=2 pi

Passo 1

O exercício pede para a gente “encontrar a representação por Série de Fourier” do sinal

Isso é conteúdo de “Séries de Fourier de sinais periódicos”: precisamos saber que qualquer sinal periódico de período X(t)=sen(omega0 t)+cos(omega0 t), omega0=2pi, pode ser escrito como
T0
onde x(t)=a0+sumn=1^inftyl[ancos(nomega0 t)+bnsin(nomega0 t)r],, e as fórmulas de coeficiente vêm de integrais sobre um período. A partir do próximo passo, vamos fazer cada integral, beleza?

Passo 2

Primeiro, qual é o período T0 do nosso X(t)? Como omega0=2pi, a gente tem
T0=2piomega0=2pi2pi=1,
Então a frequência fundamental é omega0=2pi e a gente escreve a Série de Fourier trigonométrica:
X(t)=a0+sumn=1^inftyl[ancos(2pi n t)+bnsin(2pi n t)r],
Agora vamos achar a0, an e bn.

Passo 3

Calcular a0 (média do sinal):
$$a_0=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}X(t),dt
=\int_0^1\bigl[\sen(2\pi t)+\cos(2\pi t)\bigr],dt,. a_0=0,. $$

Passo 4

Calcular an para n>=1:
$$a_n=\frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}X(t)\cos(2\pi n t),dt
=2\int_0^1\bigl[\sen(2\pi t)+\cos(2\pi t)\bigr]\cos(2\pi n t),dt,. $$
Usando as propriedades de ortogonalidade:
  • para todo an=2T0integral0^T0X(t)cos(2pi n t),dt =2integral0^1l[sen(2pi t)+cos(2pi t)r]cos(2pi n t),dt, .
  • integral0^1sen(2pi t)cos(2pi n t),dt=0 se n, e integral0^1cos(2pi t)cos(2pi n t),dt=0 se nneq1.
    Logo
=tfrac12

Passo 5

Calcular bn para n>=1:
$$b_n=\frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}X(t)\sin(2\pi n t),dt
=2\int_0^1\bigl[\sen(2\pi t)+\cos(2\pi t)\bigr]\sin(2\pi n t),dt,. $$
De novo pela ortogonalidade:
  • bn=2T0integral0^T0X(t)sin(2pi n t),dt =2integral0^1l[sen(2pi t)+cos(2pi t)r]sin(2pi n t),dt, para todo integral0^1cos(2pi t)sin(2pi n t),dt=0.
  • se n, e integral0^1sen(2pi t)sin(2pi n t),dt=0 se nneq1.
    Então
=tfrac12

Resposta

Juntando tudo, a Série de Fourier de

fica simplesmente
$$\boxed{X(t)=\cos(2\pi t)+\sen(2\pi t)
=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(2\pi n t)+b_n\sin(2\pi n t)\bigr]
,} X(t)=sen(2pi t)+cos(2pi t)a_1=1,\quad b_1=1,\quad a_n=b_n=0\ (n\neq1),\quad a_0=0,. $$

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