ENCONTRE A REPRESENTAÇÃO POR SÉRIE DE FOURIER PARA OS SINAIS:
Passo 1
O exercício pede para a gente “encontrar a representação por Série de Fourier” do sinal
Isso é conteúdo de “Séries de Fourier de sinais periódicos”: precisamos saber que qualquer sinal periódico de período
onde
e as fórmulas de coeficiente vêm de integrais sobre um período. A partir do próximo passo, vamos fazer cada integral, beleza?
Passo 2
Primeiro, qual é o período
do nosso
? Como
, a gente tem
Então a frequência fundamental é
Agora vamos achar
,
e
.
Passo 3
Calcular
(média do sinal):
$$a_0=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}X(t),dt
=\int_0^1\bigl[\sen(2\pi t)+\cos(2\pi t)\bigr],dt,. a_0=0,. $$
Passo 4
Calcular
para
:
$$a_n=\frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}X(t)\cos(2\pi n t),dt
=2\int_0^1\bigl[\sen(2\pi t)+\cos(2\pi t)\bigr]\cos(2\pi n t),dt,. $$
Usando as propriedades de ortogonalidade:
Usando as propriedades de ortogonalidade:
- para todo
. -
se , e se .
Logo
Passo 5
Calcular
para
:
$$b_n=\frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}X(t)\sin(2\pi n t),dt
=2\int_0^1\bigl[\sen(2\pi t)+\cos(2\pi t)\bigr]\sin(2\pi n t),dt,. $$
De novo pela ortogonalidade:
De novo pela ortogonalidade:
-
para todo . - se
, e se .
Então
Resposta
Juntando tudo, a Série de Fourier de
fica simplesmente
$$\boxed{X(t)=\cos(2\pi t)+\sen(2\pi t)
=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(2\pi n t)+b_n\sin(2\pi n t)\bigr]
,}
a_1=1,\quad b_1=1,\quad a_n=b_n=0\ (n\neq1),\quad a_0=0,. $$