Resolva a equação integro-diferencial a seguir considerando as condições iniciais dadas.
d^2 v / d t^2+4 v=12, v(0)=0, d v(0) / d t=2

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a equação diferencial
d^2vdt^2 + 4,v = 12
com as condições iniciais
v(0)=0, dvdt(0)=2
Matéria aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar de:
  1. solucionar a parte homogênea (equação característica),
  2. achar uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados),
  3. usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea é
v'' + 4v = 0
Montamos a equação característica:
r^2 + 4 = 0 ;longrightarrow; r = pm 2i
Isso diz que a solução geral homogênea é
vh(t) = Acos(2t) + Bsin(2t),
onde e são constantes a determinar.

Passo 3

Agora, a parte particular. Como o lado direito é a constante 12, a gente chuta uma solução constante:
vp(t) = C,
onde vp'' + 4vp = 0 + 4C = 12 ;Longrightarrow; 4C = 12 ;Longrightarrow; C = 3 é uma constante. Substituindo na equação original:
vp(t) = 3
Então

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
v(t) = vh(t) + vp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t) + 3
Agora vamos usar as condições iniciais para achar e .

Passo 5

  1. Em v(0) = Acos(0) + Bsin(0) + 3 = A + 0 + 3 = 0 ;Longrightarrow; A = -3:
v'(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t)
  1. Derivando v'(0) = -2Asin(0) + 2Bcos(0) = 0 + 2B = 2 ;Longrightarrow; B = 1:
v(t) = -3cos(2t) + 1cdot sin(2t) + 3
Em :
Substituindo e na solução geral:

Resposta

boxedv(t) = -3cos(2t) + sin(2t) + 3

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