Resolva a equação integro-diferencial a seguir considerando as condições iniciais dadas.
Passo 1
Beleza, a gente tem que resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
Matéria aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar de:
- solucionar a parte homogênea (equação característica),
- achar uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados),
- usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea é
Montamos a equação característica:
Isso diz que a solução geral homogênea é
onde
Passo 3
Agora, a parte particular. Como o lado direito é a constante 12, a gente chuta uma solução constante:
onde
Então
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Agora vamos usar as condições iniciais para achar
e
.
Passo 5
- Em
:
- Derivando
:
Em
Substituindo
e
na solução geral: