Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1}{4+x^{2}};

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências para
f(x)=\frac{1}{4+x^{2}}
centrada em 0, além de determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar a série geométrica básica.

Passo 2

Começamos reescrevendo f(x) de forma a usar
\frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n, \quad |r|<1.
Note que
f(x)=\frac{1}{4+x^{2}} =\frac{1}{4}\,\frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{4}} =\frac{1}{4}\,\frac{1}{1 - \bigl(-\tfrac{x^{2}}{4}\bigr)}.

Passo 3

Aplicando a série geométrica com
r=-\frac{x^{2}}{4},
obtemos
f(x) =\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{x^{2}}{4}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n}}{4^{n+1}}.

Passo 4

Para convergência precisamos de
\bigl|r\bigr|=\Bigl|\!-\tfrac{x^{2}}{4}\Bigr|<1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{4}<1 \;\Longrightarrow\; |x|<2.
Logo o raio de convergência é
R=2.

Passo 5

Em x=2 (ou x=-2) o termo geral da série fica
\frac{(-1)^{n}(2)^{2n}}{4^{n+1}} =\frac{(-1)^{n}4^{n}}{4^{n+1}} =\frac{(-1)^{n}}{4},
que não tende a zero, logo a série diverge nos extremos. O intervalo de convergência é
(-2,2).

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n}}{4^{n+1}}, \qquad R=2, \qquad \text{intervalo de convergência: }(-2,2).ê

Exercícios relacionados