Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1}{x^{4}+16};

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências centrada em zero (Maclaurin) para
f(x)=\frac{1}{x^{4}+16}
e, em seguida, o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. O conteúdo usado será a expansão em série geométrica.

Passo 2

Escrevemos
\frac{1}{x^{4}+16} =\frac{1}{16}\,\frac{1}{1+\frac{x^{4}}{16}}
e definimos
t=\frac{x^{4}}{16}=\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{4}.
Sabemos que para |t|<1 vale
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}.
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\frac{1}{x^{4}+16} =\frac{1}{16}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}.

Passo 3

Substituindo t=(x/2)^{4} na soma, obtemos
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{1}{16}\,\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{4n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n}}{16^{n+1}}.

Passo 4

A condição de convergência |t|<1 vira
\bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|^{4}<1\quad\Longrightarrow\quad |x|<2.
Dessa forma o raio de convergência é
R=2.
Nos pontos x=\pm2 temos t=1 e a série torna-se \sum(-1)^{n}, que diverge. Portanto o intervalo de convergência é
(-2,2).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x^{4}+16} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n}}{16^{n+1}}, \quad R=2, \quad\text{intervalo de convergência }(-2,2).ê

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