Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
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Passo 1
O enunciado pede uma representação em série de potências para a função
além do raio de convergência e do intervalo de convergência. Vamos usar a série geométrica.
Passo 2
Escrevemos
como uma série geométrica, tomando
pois
Sabemos que, para
,
Passo 3
Substituindo
na série geométrica, obtemos
Passo 4
Para o raio de convergência, exigimos
, ou seja
Logo, o raio de convergência é
.
Passo 5
Nos extremos do intervalo,
, o termo geral fica
cuja série
é divergente (não tende a zero). Portanto, o intervalo de convergência é aberto:
Resposta
A série de potências é
com raio de convergência
e intervalo de convergência
.