Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1}{1+4 x^{2}};

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências para a função
f(x)=\frac{1}{1+4x^{2}},
além do raio de convergência e do intervalo de convergência. Vamos usar a série geométrica.

Passo 2

Escrevemos f(x) como uma série geométrica, tomando
t = -4x^{2},
pois
\frac{1}{1+4x^{2}} = \frac{1}{1 - \bigl(-4x^{2}\bigr)}.
Sabemos que, para \lvert t\rvert<1,
\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.

Passo 3

Substituindo t=-4x^{2} na série geométrica, obtemos
\frac{1}{1+4x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \bigl(-4x^{2}\bigr)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}4^{n}x^{2n}.

Passo 4

Para o raio de convergência, exigimos \lvert -4x^{2}\rvert<1, ou seja
4x^{2}<1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x\rvert<\tfrac12.
Logo, o raio de convergência é R=\tfrac12.

Passo 5

Nos extremos do intervalo, x=\pm\tfrac12, o termo geral fica
(-1)^{n}4^{n}\bigl(\tfrac12\bigr)^{2n} = (-1)^{n},
cuja série \sum(-1)^{n} é divergente (não tende a zero). Portanto, o intervalo de convergência é aberto:
(-\tfrac12,\;\tfrac12).

Resposta

A série de potências é
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}4^{n}x^{2n},
com raio de convergência R=\tfrac12 e intervalo de convergência (-\tfrac12,\tfrac12).

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