Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}
e pede uma representação em série de potências, além de determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é a expansão em série geométrica, pois temos denominadores do tipo 1 - x^{2}.

Passo 2

Vamos decompor f(x) em duas parcelas que possamos aplicar diretamente a série geométrica. Observe que
\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} =\frac{1}{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{1-x^{2}}.

Passo 3

Lembrando que a série geométrica é
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}, \quad\text{válida para }\lvert r\rvert<1,á
fazemos r = x^{2}. Então
\frac{1}{1-x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}.

Passo 4

Aplicando a mesma ideia em \tfrac{x^{2}}{1-x^{2}}, basta multiplicar a série anterior por x^{2}:
\frac{x^{2}}{1-x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+2} =\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}.

Passo 5

Somando as duas séries:
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n} +\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n} =1+2\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}.
Em termos de coeficientes a_{k} em \sum_{k=0}^\infty a_{k}x^{k}, temos
a_{0}=1, a_{2n}=2 para n\ge1 e a_{k}=0 se k for ímpar.

Passo 6

Para determinar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica \lvert x^{2}\rvert<1, ou seja \lvert x\rvert<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 7

No ponto x=1 ou x=-1 a série não converge (os termos não tendem a zero), então o intervalo de convergência é
(-1,1).

Resposta

f(x) =1+2\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}, \quad R=1, \quad\text{intervalo de convergência }(-1,1).ê

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