Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{x}{x-3};

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências para
f(x)=\frac{x}{x-3}
em torno de x=0, além do raio e do intervalo de convergência. Vamos usar a expansão da série geométrica
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^\infty r^n,\quad |r|<1,
e depois determinar onde essa condição vale.

Passo 2

Reescrevemos f(x) para isolar o fator geométrico:
\frac{x}{x-3} =\frac{x}{-3\bigl(1-\tfrac{x}{3}\bigr)} =-\frac{x}{3}\,\frac{1}{1-\tfrac{x}{3}}.

Passo 3

Para \bigl|\tfrac{x}{3}\bigr|<1 sabemos que
\frac{1}{1-\tfrac{x}{3}} =\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)^n.
Multiplicando por -\tfrac{x}{3} obtemos
-\frac{x}{3}\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)^n =-\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)^{n+1}.

Passo 4

Fazendo k=n+1 (ou seja n=k-1), a série fica
-\sum_{k=1}^\infty\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)^k =-\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{3^k}.
Logo a representação pedida é
\frac{x}{x-3} =-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{3^n}.

Passo 5

A condição de convergência vem de \bigl|\tfrac{x}{3}\bigr|<1, isto é |x|<3. Nos extremos x=3 a função não está definida e em x=-3 os termos não tendem a zero, logo a série diverge. Portanto
o raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é (-3,3).

Resposta

\frac{x}{x-3} =-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{3^n}, \quad R=3, \quad \text{intervalo de convergência }(-3,3).ê

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