Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência. f(x)=\frac{x}{x-3};
Passo 1
O enunciado pede uma série de potências para
f(x)=\frac{x}{x-3}
em torno de x=0, além do raio e do intervalo de convergência. Vamos usar a expansão da série geométrica
A condição de convergência vem de \bigl|\tfrac{x}{3}\bigr|<1, isto é |x|<3. Nos extremos x=3 a função não está definida e em x=-3 os termos não tendem a zero, logo a série diverge. Portanto
o raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é (-3,3).
Resposta
\frac{x}{x-3} =-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{3^n}, \quad R=3, \quad \text{intervalo de convergência }(-3,3).ê