Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede uma representação em série de potências, além de determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é a expansão em série geométrica, pois temos denominadores do tipo
.
Passo 2
Vamos decompor
em duas parcelas que possamos aplicar diretamente a série geométrica. Observe que
Passo 3
Lembrando que a série geométrica é
fazemos
. Então
Passo 4
Aplicando a mesma ideia em
, basta multiplicar a série anterior por
:
Passo 5
Somando as duas séries:
Em termos de coeficientes
em
, temos
,
para
e
se
for ímpar.
Passo 6
Para determinar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica
, ou seja
. Logo o raio de convergência é
.
Passo 7
No ponto
ou
a série não converge (os termos não tendem a zero), então o intervalo de convergência é