Se R é o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, qual é o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2 n} ?
Passo 1
O enunciado dá que o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} é R. Pergunta: qual é o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2n}?\n
Informações relevantes fornecidas:
Temos os coeficientes \{a_n\}_{n\ge0}.
O raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} é \;R (uma quantidade não negativa, possivelmente 0 ou +\infty).
Queremos o raio de convergência da série obtida ao trocar x^n por x^{2n}.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “raio de convergência” de uma série de potências e uma fórmula prática para calculá‑lo.\n
Definição útil (intuição): o raio de convergência R significa que a série \sum a_n x^n converge para todo x com |x|<R e diverge para todo x com |x|>R (o comportamento em |x|=R pode ser variável).\n
Fórmula prática (fácil de usar na prova): o raio de convergência pode ser obtido pela fórmula da raiz superior (Cauchy–Hadamard):
A série à direita tem exatamente os mesmos coeficientes a_n e variável y, logo o raio de convergência em y é R. Ou seja, ela converge para |y|<R.
Passo 4
Volte para a variável x. A condição |y|<R é |x^2|<R, ou seja
|x|^2< R \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\sqrt{R}.
Portanto a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2n} converge sempre que |x|<\sqrt{R} e diverge sempre que |x|>\sqrt{R}. Logo o raio de convergência em x é \sqrt{R}.\n
Para confirmar com a fórmula da raiz: o novo raio S satisfaz
usando a propriedade \limsup (b_n)^{1/2}=(\limsup b_n)^{1/2} para b_n\ge0.
Passo 5
Observações finais e casos particulares (úteis na prova):
Se R=0, então \sqrt{R}=0 e a nova série só converge em x=0.
Se R=+\infty, então \sqrt{R}=+\infty e a nova série converge para todo x.
O comportamento nos pontos de fronteira |x|=\sqrt{R} pode mudar caso a caso; a afirmação sobre o raio não depende desses pontos isolados.\n
Vai dar tudo certo na prova — é um exercício clássico: trocar x^2 por y e usar a definição/fórmula do raio.