Se R é o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, qual é o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2 n} ?

Passo 1

O enunciado dá que o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} é R. Pergunta: qual é o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2n}?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos os coeficientes \{a_n\}_{n\ge0}.
  • O raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} é \;R (uma quantidade não negativa, possivelmente 0 ou +\infty).
  • Queremos o raio de convergência da série obtida ao trocar x^n por x^{2n}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “raio de convergência” de uma série de potências e uma fórmula prática para calculá‑lo.\n
Definição útil (intuição): o raio de convergência R significa que a série \sum a_n x^n converge para todo x com |x|<R e diverge para todo x com |x|>R (o comportamento em |x|=R pode ser variável).\n
Fórmula prática (fácil de usar na prova): o raio de convergência pode ser obtido pela fórmula da raiz superior (Cauchy–Hadamard):
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui \sqrt[n]{|a_n|}=|a_n|^{1/n} e \limsup é o limite superior da sequência; essa fórmula vem do teste da raiz aplicado à série de potências.

Passo 3

Aplique a mesma fórmula à série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2n}.\n
É conveniente ver essa série como uma série em outra variável: faça y=x^2. Então
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} y^{n}.
A série à direita tem exatamente os mesmos coeficientes a_n e variável y, logo o raio de convergência em y é R. Ou seja, ela converge para |y|<R.

Passo 4

Volte para a variável x. A condição |y|<R é |x^2|<R, ou seja
|x|^2< R \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\sqrt{R}.
Portanto a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2n} converge sempre que |x|<\sqrt{R} e diverge sempre que |x|>\sqrt{R}. Logo o raio de convergência em x é \sqrt{R}.\n
Para confirmar com a fórmula da raiz: o novo raio S satisfaz
S=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[2n]{|a_n|}} =\frac{1}{\big(\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\big)^{1/2}} =\sqrt{\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}} =\sqrt{R},
usando a propriedade \limsup (b_n)^{1/2}=(\limsup b_n)^{1/2} para b_n\ge0.

Passo 5

Observações finais e casos particulares (úteis na prova):
  • Se R=0, então \sqrt{R}=0 e a nova série só converge em x=0.
  • Se R=+\infty, então \sqrt{R}=+\infty e a nova série converge para todo x.
  • O comportamento nos pontos de fronteira |x|=\sqrt{R} pode mudar caso a caso; a afirmação sobre o raio não depende desses pontos isolados.\n
    Vai dar tudo certo na prova — é um exercício clássico: trocar x^2 por y e usar a definição/fórmula do raio.

Resposta

\sqrt{R}

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