Encontre uma representação em série de potências centrada em 0 para as funções abaixo e determine o raio e o intervalo de convergência das séries obtidas.
Sugestão: manipule a série geométrica.
(e) f(x)=\frac{1}{2-x}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 para a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{2-x} e determinar o raio e o intervalo de convergência da série obtida.
Informações dadas: a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{2-x}.
Perguntas explícitas: (1) escrever f(x) como uma série de potências centrada em 0, (2) determinar o raio de convergência dessa série, (3) determinar o intervalo de convergência (verificando os endpoints).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula básica que vamos usar): a série geométrica infinita converge quando a razão tem módulo menor que 1 e sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r},\qquad\text{para }|r|<1.
Aqui r é a razão comum da série e n é o índice de somatório. Essa fórmula é a ferramenta padrão para transformar uma função racional simples em série de potências.

Passo 3

Queremos adaptar \displaystyle \frac{1}{2-x} para a forma \displaystyle \frac{1}{1-r}. Para isso fatoramos 2 no denominador:
\frac{1}{2-x} = \frac{1}{2\left(1-\frac{x}{2}\right)}.
Note que apenas separamos um fator 2 para ficar exatamente com \displaystyle \frac{1}{1-r} com r=\frac{x}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da série geométrica com r=\dfrac{x}{2}. Pela fórmula,
\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n, \qquad\text{desde que }\left|\frac{x}{2}\right|<1.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{1}{2} (porque tínhamos o fator \dfrac{1}{2} fora), obtemos
\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n.

Passo 5

Simplificamos a expressão do termo geral. Para cada n,
\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^n=\frac{x^n}{2^{n+1}}.
Portanto a série de potências centrada em 0 fica
\frac{1}{2-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^{n+1}}.
Essa é exatamente uma série de potências em x: soma de coeficientes \dfrac{1}{2^{n+1}} multiplicando x^n.

Passo 6

Agora determinamos o raio de convergência a partir da condição de convergência da geométrica usada: \left|\dfrac{x}{2}\right|<1. Isso é equivalente a
|x|<2.
Logo o raio de convergência é R=2.

Passo 7

Precisamos verificar a convergência nos endpoints x=2 e x=-2.
  • Para x=2: o termo geral da série é
\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}.
Como os termos não tendem a zero (são constantes iguais a \tfrac{1}{2}), a série \sum_{n=0}^{\infty}\tfrac{1}{2} diverge. Portanto não converge em x=2.
  • Para x=-2: o termo geral é
\frac{(-2)^n}{2^{n+1}}=\frac{(-1)^n}{2}.
Novamente os termos não tendem a zero em módulo (têm módulo \tfrac{1}{2}), logo a série \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2} também diverge. Portanto não converge em x=-2.

Passo 8

Conclusão sobre o intervalo de convergência: a série converge exatamente para |x|<2, ou seja, no intervalo aberto
(-2,2).
Os endpoints x=\pm 2 não pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^{n+1}}\nRaio de convergência: R=2\nIntervalo de convergência: (-2,2)

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