Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
e dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. A gente está trabalhando no espaço dos polinômios de grau até 2, denotado por
. O produto interno definido nesse espaço é a integral do produto de dois polinômios de 0 a 1. A questão quer saber qual é a projeção ortogonal do polinômio
na reta gerada pelo polinômio
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção em espaços vetoriais com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da projeção ortogonal. Se temos um vetor
e queremos projetá-lo na direção de um vetor
, a projeção é dada por:
Aqui,
é o produto interno de
e
, e
é o produto interno de
consigo mesmo.
Passo 3
Vamos calcular
. Isso significa integrar o produto de
e
de 0 a 1:
Vamos multiplicar os polinômios:
Agora, integramos cada termo:
Calculando de 0 a 1:
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Expandindo
:
Agora, integramos cada termo:
Calculando de 0 a 1:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos calcular a projeção:
Resposta
A projeção ortogonal de
na reta gerada por
é:
Comparando com as opções fornecidas, essa expressão corresponde à opção (G)
.