Introduzimos em P2, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=2 x^2-4 x+3 na reta gerada por
q(x)=x-2.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 2 x^2-4 x+3 no intervalo [0,1] por um múltiplo de x-2 e dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 227-11 x7
(B) -18 x^27+36 x7-277
© -16 x^27+32 x7-247
(D) -20 x^27+40 x7-307
(E) 187-9 x7
(F) -22 x^27+44 x7-337
(G) 167-8 x7
(H) 207-10 x7
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. A gente está trabalhando no espaço dos polinômios de grau até 2, denotado por . O produto interno definido nesse espaço é a integral do produto de dois polinômios de 0 a 1. A questão quer saber qual é a projeção ortogonal do polinômio na reta gerada pelo polinômio . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção em espaços vetoriais com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da projeção ortogonal. Se temos um vetor projq p = ( lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= ) q e queremos projetá-lo na direção de um vetor , a projeção é dada por:
Aqui, é o produto interno de e , e é o produto interno de consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular lang<= p, q rang<= = integral0^1 p(x) q(x) , dx = integral0^1 (2x^2 - 4x + 3)(x - 2) , dx . Isso significa integrar o produto de (2x^2 - 4x + 3)(x - 2) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 4x^2 + 8x - 6 = 2x^3 - 8x^2 + 11x - 6 e integral0^1 (2x^3 - 8x^2 + 11x - 6) , dx = [ 2x^44 - 8x^33 + 11x^22 - 6x ]0^1 de 0 a 1:
( 24 - 83 + 112 - 6 ) - 0 = ( 12 - 83 + 112 - 6 )
Vamos multiplicar os polinômios:
12 + 112 = 122 = 6
Agora, integramos cada termo:
-83 - 6 = -83 - 183 = -263
Calculando de 0 a 1:
6 - 263 = 183 - 263 = -83
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= q, q rang<= = integral0^1 q(x) q(x) , dx = integral0^1 (x - 2)^2 , dx :
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
Expandindo integral0^1 (x^2 - 4x + 4) , dx = [ x^33 - 2x^2 + 4x ]0^1 :
( 13 - 2 + 4 ) - 0 = 13 + 2 = 73
Agora, integramos cada termo:
Calculando de 0 a 1:
Então, .

Passo 5

Agora que temos projq p = ( -8373 ) q(x) = ( -87 ) (x - 2) = -87x + 167 e , podemos calcular a projeção:

Resposta

A projeção ortogonal de -87x + 167 na reta gerada por é:
Comparando com as opções fornecidas, essa expressão corresponde à opção (G) .

Exercícios relacionados