Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x) = (x^2 + x) / (1 - x)^3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e manipulação de séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação de séries conhecidas. Observamos que pode ser separada em duas partes:

Passo 3

Sabemos que a série de potências para é:
onde é o coeficiente binomial que pode ser calculado como .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada termo da série por e respectivamente:

Passo 5

Podemos ajustar os índices das somas para que ambas comecem em :

Passo 6

Agora, somamos as duas séries resultantes:
Podemos combinar os índices para ter uma única série:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Portanto, a série de potências para fica:

Passo 8

Conhecemos a série , que converge para . Portanto, o intervalo de convergência da série encontrada para é .

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência é .

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