Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e manipulação de séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação de séries conhecidas. Observamos que
pode ser separada em duas partes:
Passo 3
Sabemos que a série de potências para
é:
onde
é o coeficiente binomial que pode ser calculado como
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar cada termo da série por
e
respectivamente:
Passo 5
Podemos ajustar os índices das somas para que ambas comecem em
:
Passo 6
Agora, somamos as duas séries resultantes:
Podemos combinar os índices para ter uma única série:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Portanto, a série de potências para
fica:
Passo 8
Conhecemos a série
, que converge para
. Portanto, o intervalo de convergência da série encontrada para
é
.
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência é
.