Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente no estudo de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (pontos críticos) e depois classificar esses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos esses valores de
na segunda equação para encontrar
.
Para
:
Para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar as segundas derivadas da função e construir a matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana
para cada ponto crítico:
Vamos calcular
para cada ponto:
Para
:
Para
:
Passo 6
A classificação dos pontos críticos depende do valor de
e de
:
- Se
e , é um mínimo relativo. - Se
e , é um máximo relativo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, para ambos os pontos
, que é menor que zero. Então, ambos os pontos
e
são pontos de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
, e ambos são pontos de sela.