Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
f(x, y) = x * y^2 + 3 * y^2 - 3 * x * y + 2 * x - 4 * y + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente no estudo de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (pontos críticos) e depois classificar esses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos esses valores de na segunda equação para encontrar .
Para :
Para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar as segundas derivadas da função e construir a matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana para cada ponto crítico:
Vamos calcular para cada ponto:
Para :
Para :

Passo 6

A classificação dos pontos críticos depende do valor de e de :
  • Se e , é um mínimo relativo.
  • Se e , é um máximo relativo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, para ambos os pontos , que é menor que zero. Então, ambos os pontos e são pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são e , e ambos são pontos de sela.

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