Calcule a menor distância entre a reta v = u - 2 e a parábola v = u^2 + 1.
Obs.: A distância de um ponto (x, y) a uma reta a u + b v + c = 0 é dada por
|a x + b y + c| / raiz(a^2 + b^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a menor distância entre a reta e a parábola . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Primeiro, vamos identificar as equações e preparar o que precisamos para calcular essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta no formato geral . A reta dada é . Subtraindo de ambos os lados, fica:
Então, temos , e .

Passo 3

Agora, vamos considerar um ponto qualquer na parábola . Esse ponto tem coordenadas . Queremos encontrar a distância desse ponto até a reta que encontramos.

Passo 4

Usamos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta :
â
Substituindo , , , e :
Como a distância é sempre positiva, podemos simplificar para:

Passo 5

Para encontrar a menor distância, precisamos minimizar a função . Como é uma constante positiva, basta minimizar o numerador .

Passo 6

A função é uma parábola que abre para cima. O ponto mínimo dessa parábola ocorre no vértice. A fórmula para a coordenada do vértice de uma parábola é .
Aqui, e :

Passo 7

Substituindo na função :

Passo 8

Agora, substituímos esse valor na função da distância:
í

Resposta

A menor distância entre a reta e a parábola é .

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