Calcule a menor distância entre a reta
e a parábola
.
Obs.: A distância de um ponto
a uma reta
é dada por
Obs.: A distância de um ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a menor distância entre a reta
e a parábola
. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Primeiro, vamos identificar as equações e preparar o que precisamos para calcular essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta no formato geral
. A reta dada é
. Subtraindo
de ambos os lados, fica:
Então, temos
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar um ponto qualquer na parábola
. Esse ponto tem coordenadas
. Queremos encontrar a distância desse ponto até a reta que encontramos.
Passo 4
Usamos a fórmula da distância entre um ponto
e uma reta
:
Substituindo
,
,
, e
:
Como a distância é sempre positiva, podemos simplificar para:
Passo 5
Para encontrar a menor distância, precisamos minimizar a função
. Como
é uma constante positiva, basta minimizar o numerador
.
Passo 6
A função
é uma parábola que abre para cima. O ponto mínimo dessa parábola ocorre no vértice. A fórmula para a coordenada
do vértice de uma parábola
é
.
Aqui,
e
:
Passo 7
Substituindo
na função
:
Passo 8
Agora, substituímos esse valor na função da distância:
Resposta
A menor distância entre a reta
e a parábola
é
.