Se f^(n)(0) = (n + 1) ! para todo n in N, encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de séries de Maclaurin. O enunciado nos diz que a n-ésima derivada de uma função em 0 é igual a para todo natural. Para encontrar a série de Maclaurin dessa função e determinar seu raio de convergência, vamos precisar entender como construir uma série de Maclaurin a partir das derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a série de Maclaurin de uma função é uma representação em série de potências centrada em 0. Ela é dada por:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em 0.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Vamos substituir esse valor na fórmula da série de Maclaurin:

Passo 4

Simplificando a fração , temos:
Portanto, a série de Maclaurin fica:

Passo 5

Agora, precisamos somar essa série. Reconhecemos que:
Essa é uma série conhecida que converge para quando .

Passo 6

Então, concluímos que a série de Maclaurin de é .

Resposta

A série de Maclaurin de é e seu raio de convergência é .

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