Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=1x^4+16

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências para f(x)=1/(x^4+16) e o intervalo de convergência; vamos usar a ideia de série geométrica.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a isolar 1/(1−r):
Primeiro fatoramos 16 no denominador:
f(x)=1x^4+16=116cdot11+x^416=116cdot11-l(-x^416r)

Passo 3

Aplicamos a fórmula da série geométrica 1/(1-r)=sumn=0^infty r^n válida para |r|<1. Aqui r=-x^4/16, logo
11-l(-tfracx^416r)=sumn=0^inftyl(-x^416r)^n

Passo 4

Multiplicamos por 1/16 para obter f(x):
f(x)=116sumn=0^inftyl(-x^416r)^n=sumn=0^infty(-1)^nx^4n16^n+1

Passo 5

Para convergência precisamos de |r|<1, ou seja l|x^4/16r|<1 que dá |x|<2. Nos extremos x=±2 a série vira sum(-1)^n/16, que não converge (os termos não tendem a zero).

Resposta

A série de potências é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n16^n+1,
e o intervalo de convergência é |x|<2.

Exercícios relacionados