Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede uma série de potências para f(x)=1/(x^4+16) e o intervalo de convergência; vamos usar a ideia de série geométrica.
Passo 2
Reescrevemos f(x) de modo a isolar 1/(1−r):
Primeiro fatoramos 16 no denominador:
Passo 3
Aplicamos a fórmula da série geométrica
válida para
. Aqui
, logo
Passo 4
Multiplicamos por 1/16 para obter f(x):
Passo 5
Para convergência precisamos de
, ou seja
que dá
|x|<2 . Nos extremos
x=±2 a série vira
sum(-1)^n/16 , que não converge (os termos não tendem a zero).
Resposta
A série de potências é
e o intervalo de convergência é