Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=14+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a função 14 + x^2 = 14 (1 + x^24) = 14 cdot 11 + x^24 de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica, que é quando .
Nossa função é . Podemos fatorar o denominador para facilitar:

Passo 3

Agora, observe que 11 + x^24 = sumn=0^infty (-x^24)^n se parece com f(x) = 14 sumn=0^infty (-x^24)^n se considerarmos . Assim, podemos expandir essa parte usando a série geométrica:
Portanto, nossa função fica:

Passo 4

Para simplificar, vamos reescrever a série:
f(x) = 14 sumn=0^infty (-1)^n (x^24)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n4^n+1

Passo 5

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para uma série geométrica | -x^24 | < 1 implies x^24 < 1 implies x^2 < 4 implies |x| < 2 , a série converge quando .
No nosso caso, , então precisamos que:
Portanto, a série converge para .

Resposta

A representação em série de potências para f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n4^n+1 é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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