Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a função de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica, que é quando .
Nossa função é . Podemos fatorar o denominador para facilitar:
Passo 3
Agora, observe que se parece com se considerarmos . Assim, podemos expandir essa parte usando a série geométrica:
Portanto, nossa função fica:
Passo 4
Para simplificar, vamos reescrever a série:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para uma série geométrica , a série converge quando .
No nosso caso, , então precisamos que:
Portanto, a série converge para .
Resposta
A representação em série de potências para f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n4^n+1 é: