Encontre uma representação em série de potências para:
Passo 1
O que o exercício pede e o que temos:
- Pede encontrar uma representação em série de potências para
. - Informação dada: a função integranda é
. - Resultado esperado: uma série de potências (em torno de
, i.e., série de Maclaurin) que representa a primitiva, mais a constante de integração.
Passo 2
Lembra da série de Maclaurin conhecida para
. Vou mostrar rapidamente de onde vem (é útil na prova):
- Começa-se com a série geométrica
válida para . - Tomando
obtemos para . - Integrando termo a termo (integral de
a ) dá
válida para
(e convergente condicional em
).
Essa é a série que vou usar.
Essa é a série que vou usar.
Passo 3
Multiplicar por
. Como queremos
, multiplicamos cada termo da série por
. Assim,
válido para
. Observação didática: multiplicar por
aumenta cada expoente em
e não altera os coeficientes além do fator já presente.
Passo 4
Justificando a integração termo a termo:
- A série original para
converge uniformemente em qualquer intervalo fechado com . - Multiplicando por
mantém essa propriedade de uniformidade em . - Teorema: séries de potências que convergem uniformemente podem ser integradas termo a termo, e a série integral terá o mesmo raio de convergência.
Portanto é permitido integrartermo a termo para obter a primitiva, para .
Passo 5
Integrando termo a termo (calcule passo a passo):
- Para um termo geral
, sua integral é
- Integrando a soma termo a termo obtemos a série da primitiva:
onde
é a constante de integração e a série é válida para
.
Passo 6
Escrevendo alguns termos iniciais explícitos para ficar mais concreto (útil na prova):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Assim a primitiva começa
Passo 7
Dica para a prova (resumindo o método que você pode aplicar rápido):
- Lembre a série de
. - Multiplica por
(ou por qualquer polinômio) para ajustar o integrando. - Integra termo a termo utilizando a fórmula de potência
. - Não esqueça da constante de integração e de mencionar o intervalo de validade
.