Encontre uma representação em série de potências para:
\int x^{2} \operatorname{arctg}(x) d x

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos:
  • Pede encontrar uma representação em série de potências para \displaystyle \int x^{2}\operatorname{arctg}(x)\,dx.
  • Informação dada: a função integranda é x^{2}\operatorname{arctg}(x).
  • Resultado esperado: uma série de potências (em torno de 0, i.e., série de Maclaurin) que representa a primitiva, mais a constante de integração.

Passo 2

Lembra da série de Maclaurin conhecida para \arctan x. Vou mostrar rapidamente de onde vem (é útil na prova):
  • Começa-se com a série geométrica \dfrac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n válida para |u|<1.
  • Tomando u=x^2 obtemos \dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n} para |x|<1.
  • Integrando termo a termo (integral de 0 a x) dá
\arctan x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
válida para |x|<1 (e convergente condicional em x=\pm1).
Essa é a série que vou usar.

Passo 3

Multiplicar por x^{2}. Como queremos x^{2}\operatorname{arctg}(x), multiplicamos cada termo da série por x^{2}. Assim,
x^{2}\arctan x = x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+3}}{2n+1},
válido para |x|<1. Observação didática: multiplicar por x^2 aumenta cada expoente em 2 e não altera os coeficientes além do fator já presente.

Passo 4

Justificando a integração termo a termo:
  • A série original para \arctan x converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-r,r] com 0<r<1.
  • Multiplicando por x^{2} mantém essa propriedade de uniformidade em [-r,r].
  • Teorema: séries de potências que convergem uniformemente podem ser integradas termo a termo, e a série integral terá o mesmo raio de convergência.
    Portanto é permitido integrar \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+3}}{2n+1} termo a termo para obter a primitiva, para |x|<1.

Passo 5

Integrando termo a termo (calcule passo a passo):
  • Para um termo geral \dfrac{(-1)^n x^{2n+3}}{2n+1}, sua integral é
\int \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{2n+1}\,dx = \frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot\frac{x^{2n+4}}{2n+4} = (-1)^n\frac{x^{2n+4}}{(2n+1)(2n+4)}.
  • Integrando a soma termo a termo obtemos a série da primitiva:
\int x^{2}\arctan x\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+4}}{(2n+1)(2n+4)},
onde C é a constante de integração e a série é válida para |x|<1.

Passo 6

Escrevendo alguns termos iniciais explícitos para ficar mais concreto (útil na prova):
  • Para n=0: \dfrac{x^{4}}{4}.
  • Para n=1: -\dfrac{x^{6}}{18}.
  • Para n=2: \dfrac{x^{8}}{40}.
    Assim a primitiva começa
\int x^{2}\arctan x\,dx = C + \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{18}+\frac{x^{8}}{40}-\cdots.

Passo 7

Dica para a prova (resumindo o método que você pode aplicar rápido):
  • Lembre a série de \arctan x.
  • Multiplica por x^{2} (ou por qualquer polinômio) para ajustar o integrando.
  • Integra termo a termo utilizando a fórmula de potência \int x^{m}\,dx = x^{m+1}/(m+1).
  • Não esqueça da constante de integração e de mencionar o intervalo de validade |x|<1.

Resposta

\displaystyle \int x^{2}\operatorname{arctg}(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+4}}{(2n+1)(2n+4)}

Exercícios relacionados