( 8 pontos) Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede duas coisas:
- determinar o raio de convergência;
- determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais
a série converge, incluindo teste dos extremos).
Informações relevantes fornecidas:
- a série é somatória em
de ; - não foram dadas outras restrições sobre
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reconhecer a forma da soma e reescrever de modo mais claro. Vamos definir uma variável auxiliar
Assim a série fica
Observe que isso é uma série geométrica (uma soma de potências com sinal alternado): a partir de
tem termo geral
. Vou explicar por que isso facilita: a série geométrica clássica é
e ela converge se, e somente se,
. Aqui o fator que é elevado a
é
. Portanto a condição de convergência será
, i.e.
.
Passo 3
Aplicando a condição de convergência para a nossa série em
:
Voltando à variável
usando
, obtemos
Essa desigualdade dá o intervalo central de convergência. Vou resolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 4
Resolver
. Primeiro isolar
:
Isto significa que
está a uma distância menor que
do ponto
. Portanto o intervalo aberto é
ou seja
Daí já conseguimos o raio de convergência: o raio
é o semi-intervalo que sai do centro
até a fronteira, logo
Passo 5
Agora precisamos testar os extremos
e
separadamente, porque a condição
só garante convergência estrita no interior. A regra básica que sempre verifico é: uma série só pode convergir se o termo geral tende a zero. Vou usar isso primeiro como teste rápido nos extremos.
Passo 6
Testando
:
Calcular em
:
Calcular
O termo geral da série vira
Os termos não tendem a zero (são sempre
), portanto a série diverge. Conclusão:
não pertence ao conjunto de convergência.
Passo 7
Testando
:
Calcular em
:
Calcular
O termo geral é
Os termos não tendem a zero (alternam entre
e
), logo a série não converge. Conclusão:
também não pertence ao conjunto de convergência.
Passo 8
Resumo do que obtivemos:
- a condição de convergência interior foi
, que corresponde ao intervalo ; - ambos os extremos
e foram testados e cada um leva a termos gerais que não tendem a zero, então a série diverge em ambos; - portanto o intervalo de convergência é exatamente o intervalo aberto
e o raio de convergência é .
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: