( 8 pontos) Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(2 x+1)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(2 x+1)^{n},
e pede duas coisas:
  • determinar o raio de convergência;
  • determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais x a série converge, incluindo teste dos extremos).
Informações relevantes fornecidas:
  • a série é somatória em n de (-1)^{n}(2 x+1)^{n};
  • não foram dadas outras restrições sobre x.

Passo 2

Primeiro passo prático: reconhecer a forma da soma e reescrever de modo mais claro. Vamos definir uma variável auxiliar
u = 2x+1.
Assim a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Observe que isso é uma série geométrica (uma soma de potências com sinal alternado): a partir de n=1 tem termo geral (-1)^{n}u^{n}=( -u)^{n}. Vou explicar por que isso facilita: a série geométrica clássica é
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
e ela converge se, e somente se, |r|<1. Aqui o fator que é elevado a n é r=-u. Portanto a condição de convergência será |-u|<1, i.e. |u|<1.

Passo 3

Aplicando a condição de convergência para a nossa série em u:
|u|<1.
Voltando à variável x usando u=2x+1, obtemos
|2x+1|<1.
Essa desigualdade dá o intervalo central de convergência. Vou resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 4

Resolver |2x+1|<1. Primeiro isolar x:
|2x+1|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+\tfrac{1}{2}|<\tfrac{1}{2}.
Isto significa que x está a uma distância menor que \tfrac{1}{2} do ponto -\tfrac{1}{2}. Portanto o intervalo aberto é
-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}<x<-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2},
ou seja
-1<x<0.
Daí já conseguimos o raio de convergência: o raio R é o semi-intervalo que sai do centro -\tfrac{1}{2} até a fronteira, logo
R=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora precisamos testar os extremos x=-1 e x=0 separadamente, porque a condição |2x+1|<1 só garante convergência estrita no interior. A regra básica que sempre verifico é: uma série só pode convergir se o termo geral tende a zero. Vou usar isso primeiro como teste rápido nos extremos.

Passo 6

Testando x=-1:
Calcular u=2x+1 em x=-1:
u=2(-1)+1=-1.
O termo geral da série vira
(-1)^{n}u^{n}=(-1)^{n}(-1)^{n}=(-1)^{2n}=1.
Os termos não tendem a zero (são sempre 1), portanto a série diverge. Conclusão: x=-1 não pertence ao conjunto de convergência.

Passo 7

Testando x=0:
Calcular u=2x+1 em x=0:
u=2(0)+1=1.
O termo geral é
(-1)^{n}u^{n}=(-1)^{n}\cdot 1^{n}=(-1)^{n}.
Os termos não tendem a zero (alternam entre -1 e 1), logo a série não converge. Conclusão: x=0 também não pertence ao conjunto de convergência.

Passo 8

Resumo do que obtivemos:
  • a condição de convergência interior foi |2x+1|<1, que corresponde ao intervalo (-1,0);
  • ambos os extremos x=-1 e x=0 foram testados e cada um leva a termos gerais que não tendem a zero, então a série diverge em ambos;
  • portanto o intervalo de convergência é exatamente o intervalo aberto (-1,0) e o raio de convergência é \tfrac{1}{2}.

Resposta

Raio de convergência: \displaystyle R=\tfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: (-1,0)

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