Encontre uma representação em série de potências para: f(x)=\frac{x}{4+x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma representação em série de potências para f(x)=\dfrac{x}{4+x^{2}}.
Informações dadas:
A função é f(x)=\dfrac{x}{4+x^{2}}.
Não foi dado nenhum intervalo; portanto teremos que determinar também o intervalo/raio de convergência da série que obtivermos.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever f(x) de forma que apareça um fator do tipo \dfrac{1}{1-\text{algo}} (ou \dfrac{1}{1+\text{algo}}), porque essas formas têm séries conhecidas. Faço a fatoração:
Aqui u é qualquer expressão (dependendo de x) que satisfaça |u|<1.
Passo 4
Aplicamos essa série com u=\dfrac{x^{2}}{4}. Como na Passo 2 temos exatamente o fator \dfrac{1}{1+\dfrac{x^{2}}{4}}, obtemos, para \left|\dfrac{x^{2}}{4}\right|<1,
Faço as potências explícitas para obter a forma padrão de série de potências. Note que \left(\dfrac{x^{2}}{4}\right)^{n}=\dfrac{x^{2n}}{4^{n}}. Portanto
cujos termos não tendem a 0, logo a série diverge nas extremidades x=\pm 2. Assim o intervalo aberto (-2,2) é o correto.
Passo 8
Resumo prático e motivador: a ideia-chave é transformar a função em algo do tipo \dfrac{1}{1+u} e usar a série geométrica. Dá para usar essa série para aproximar valores de f(x) rapidamente quando |x|<2 (por exemplo, f(1) obtém-se somando os termos com x=1 e converge rápido).
Resposta
\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{4^{\,n+1}}
Raio de convergência: R=2 (intervalo de convergência real: (-2,2)).