Encontre uma representação em série de potências para:
f(x)=\frac{x}{4+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma representação em série de potências para f(x)=\dfrac{x}{4+x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{4+x^{2}}.
  • Não foi dado nenhum intervalo; portanto teremos que determinar também o intervalo/raio de convergência da série que obtivermos.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever f(x) de forma que apareça um fator do tipo \dfrac{1}{1-\text{algo}} (ou \dfrac{1}{1+\text{algo}}), porque essas formas têm séries conhecidas. Faço a fatoração:
f(x)=\frac{x}{4+x^{2}}=\frac{x}{4\left(1+\dfrac{x^{2}}{4}\right)}=\frac{1}{4}\,x\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x^{2}}{4}}.
Aqui eu apenas dividi numerador e denominador por 4. Cada símbolo: x é a variável, o 4 é constante e x^{2} é x ao quadrado.

Passo 3

Agora lembro da série geométrica clássica: para uma variável r com |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Dessa fórmula segue diretamente que, para u com |u|<1,
\frac{1}{1+u}=\frac{1}{1-(-u)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-u)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Aqui u é qualquer expressão (dependendo de x) que satisfaça |u|<1.

Passo 4

Aplicamos essa série com u=\dfrac{x^{2}}{4}. Como na Passo 2 temos exatamente o fator \dfrac{1}{1+\dfrac{x^{2}}{4}}, obtemos, para \left|\dfrac{x^{2}}{4}\right|<1,
\frac{1}{1+\dfrac{x^{2}}{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\dfrac{x^{2}}{4}\right)^{n}.
Multiplicando por \dfrac{1}{4}x (veja Passo 2) temos
f(x)=\frac{1}{4}x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\dfrac{x^{2}}{4}\right)^{n}.

Passo 5

Faço as potências explícitas para obter a forma padrão de série de potências. Note que \left(\dfrac{x^{2}}{4}\right)^{n}=\dfrac{x^{2n}}{4^{n}}. Portanto
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{4}\,x\cdot\frac{x^{2n}}{4^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{4^{\,n+1}}.
Essa é a série de potências centrada em 0 (ou série de Taylor em torno de 0). Para ficar mais concreto, escrevo os primeiros termos:
f(x)=\frac{1}{4}x-\frac{1}{16}x^{3}+\frac{1}{64}x^{5}-\frac{1}{256}x^{7}+\cdots.

Passo 6

Agora determinamos o raio/intervalo de convergência. A condição usada foi \left|\dfrac{x^{2}}{4}\right|<1. Isso equivale a
\frac{x^{2}}{4}<1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}<4\quad\Longrightarrow\quad |x|<2.
Portanto o raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência (no real) é (-2,2).

Passo 7

Verificação rápida das pontas: se x=2 ou x=-2 então \dfrac{x^{2}}{4}=1 e a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(\pm 2)^{2n+1}}{4^{n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\pm 2}{2^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\pm 1}{2},
cujos termos não tendem a 0, logo a série diverge nas extremidades x=\pm 2. Assim o intervalo aberto (-2,2) é o correto.

Passo 8

Resumo prático e motivador: a ideia-chave é transformar a função em algo do tipo \dfrac{1}{1+u} e usar a série geométrica. Dá para usar essa série para aproximar valores de f(x) rapidamente quando |x|<2 (por exemplo, f(1) obtém-se somando os termos com x=1 e converge rápido).

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{4^{\,n+1}}
Raio de convergência: R=2 (intervalo de convergência real: (-2,2)).

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