Encontre a resposta y(t) para cada sistema LTI a seguir. Determine se o sistema é BIBO estável/instável.
Se h(t)=t u(t) é a resposta ao impulso, encontre a saída y(t) considerando a entrada x(t)=\delta(t)-2 \delta(t-1)+\delta(t-2).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei exatamente as informações dadas):
  • Resposta ao impulso: h(t)=t\,u(t), onde u(t) é a função degrau unitário.
  • Entrada: x(t)=\delta(t)-2\delta(t-1)+\delta(t-2).
  • Pedidos: (i) encontrar a saída y(t) do sistema LTI correspondente; (ii) determinar se o sistema é BIBO estável ou instável.

Passo 2

Lembrando a definição de convolução para sistemas LTI e uma propriedade muito útil das deltas:
  • A convolução é
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
  • Propriedade sifting (propriedade da delta): para qualquer função bem-comportada f,
\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,\delta(\tau-\tau_0)\,d\tau = f(\tau_0).
Usando essa propriedade mostra-se facilmente que deslocamento da delta desloca a função na convolução:
h(t)*\delta(t-t_0)=h(t-t_0).
(Se quiser ver a conta: substitui x(t)=\delta(t-t_0) na integral de convolução e aplica a propriedade da delta.)

Passo 3

Usando linearidade da convolução e a propriedade anterior, para x(t)=\delta(t)-2\delta(t-1)+\delta(t-2) obtemos
y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*\delta(t)-2\,h(t)*\delta(t-1)+h(t)*\delta(t-2).
Aplicando h(t)*\delta(t-\tau)=h(t-\tau) isso vira
y(t)=h(t)-2\,h(t-1)+h(t-2).

Passo 4

Substituindo h(t)=t\,u(t) nas três parcelas:
y(t)=t\,u(t)-2\,(t-1)\,u(t-1)+(t-2)\,u(t-2).
Aqui u(t) é a função degrau unitário, definida por u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge0. Assim cada termo só “liga” quando o argumento do degrau fica não negativo.

Passo 5

Agora simplifico y(t) por intervalos de t, observando onde cada u(\cdot) é 0 ou 1.
  • Para t<0: u(t)=0,\;u(t-1)=0,\;u(t-2)=0. Logo
y(t)=0.
  • Para 0\le t<1: u(t)=1,\;u(t-1)=0,\;u(t-2)=0. Logo
y(t)=t.
  • Para 1\le t<2: u(t)=1,\;u(t-1)=1,\;u(t-2)=0. Logo
y(t)=t-2(t-1)=t-2t+2=-t+2.
  • Para t\ge2: u(t)=1,\;u(t-1)=1,\;u(t-2)=1. Logo
y(t)=t-2(t-1)+(t-2)=t-2t+2+t-2=0.
Verificação rápida de continuidade nos limites: em t=0 0; em t=1 pela primeira expressão t=1 e pela segunda -1+2=1; em t=2 pela segunda -2+2=0 e pela terceira 0. Tudo consistente.
Portanto y(t) é um pulso triangular que vale 0 fora de [0,2], sobe linearmente de 0 a 1 em [0,1] e desce linearmente de 1 a 0 em [1,2].

Passo 6

Determinar BIBO estabilidade do sistema cujo impulso é h(t)=t\,u(t).
  • Critério conhecido: um sistema LTI é BIBO estável se e somente se sua resposta ao impulso for absolutamente integrável:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
  • Aqui h(t)=t\,u(t) implica |h(t)|=t para t\ge0 e 0 para t<0. Então
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \int_{0}^{\infty} t\,dt = \left[\tfrac{1}{2}t^2\right]_{0}^{\infty} = \infty.
Portanto a integral diverge e o sistema NÃO é BIBO estável (é instável no sentido BIBO).
Observação útil (motivacional): embora o sistema seja BIBO instável, para a entrada específica dada (soma finita de deltas) a saída ficou limitada e bem comportada. Mas a definição de BIBO estabilidade é sobre todos os sinais de entrada limitados, e aí o sistema falha.

Resposta

y(t)=t\,u(t)-2\,(t-1)\,u(t-1)+(t-2)\,u(t-2)
\displaystyle y(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] t, & 0\le t<1,\\[4pt] -t+2, & 1\le t<2,\\[4pt] 0, & t\ge2, \end{cases}
Sistema BIBO: instável.]

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