Encontre a resposta
para cada sistema LTI a seguir. Determine se o sistema é BIBO estável/instável.
Se
é a resposta ao impulso, encontre a saída
considerando a entrada
.
Se
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (listei exatamente as informações dadas):
- Resposta ao impulso:
, onde é a função degrau unitário. - Entrada:
. - Pedidos: (i) encontrar a saída
do sistema LTI correspondente; (ii) determinar se o sistema é BIBO estável ou instável.
Passo 2
Lembrando a definição de convolução para sistemas LTI e uma propriedade muito útil das deltas:
- A convolução é
- Propriedade sifting (propriedade da delta): para qualquer função bem-comportada
,
Usando essa propriedade mostra-se facilmente que deslocamento da delta desloca a função na convolução:
(Se quiser ver a conta: substitui
na integral de convolução e aplica a propriedade da delta.)
Passo 3
Usando linearidade da convolução e a propriedade anterior, para
obtemos
Aplicando
isso vira
Passo 4
Substituindo
nas três parcelas:
Aqui
é a função degrau unitário, definida por
para
e
para
. Assim cada termo só “liga” quando o argumento do degrau fica não negativo.
Passo 5
Agora simplifico
por intervalos de
, observando onde cada
é
ou
.
- Para
: . Logo
- Para
: . Logo
- Para
: . Logo
- Para
: . Logo
Verificação rápida de continuidade nos limites: em
dá
; em
pela primeira expressão
e pela segunda
; em
pela segunda
e pela terceira
. Tudo consistente.
Portanto
é um pulso triangular que vale
fora de
, sobe linearmente de
a
em
e desce linearmente de
a
em
.
Passo 6
Determinar BIBO estabilidade do sistema cujo impulso é
.
- Critério conhecido: um sistema LTI é BIBO estável se e somente se sua resposta ao impulso for absolutamente integrável:
- Aqui
implica para e para . Então
Portanto a integral diverge e o sistema NÃO é BIBO estável (é instável no sentido BIBO).
Observação útil (motivacional): embora o sistema seja BIBO instável, para a entrada específica dada (soma finita de deltas) a saída ficou limitada e bem comportada. Mas a definição de BIBO estabilidade é sobre todos os sinais de entrada limitados, e aí o sistema falha.
Resposta
Sistema BIBO: instável.]