Encontre a resposta completa y(t) do sistema abaixo para a entrada u(t) do tipo degrau unitário. Considere as condições iniciais \mathrm{x}_{0}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right]^{\mathrm{T}}. Encontre também a função de transferência G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} (Valor: 2,5).
\begin{gathered} x(t)=\left[\begin{array}{cc} -8 & 1 \\\\ -15 & 0 \end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u(t) \\\ y(t)=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \end{array}\right] x(t) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar a resposta completa y(t) do sistema quando a entrada é um degrau unitário u(t)=1(t) e as condições iniciais são \mathrm{x}_{0}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Encontrar a função de transferência G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}.
As informações dadas (peguei todas do enunciado):
A=\begin{pmatrix}-8 & 1\\[4pt]-15 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 0\end{pmatrix},\qquad D=0,
\mathrm{x}(0)=\mathrm{x}_{0}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad u(t)=1(t)\\ (\text{degrau unitário}).á]

Passo 2

Primeiro vamos obter a função de transferência. A fórmula padrão (para sistemas sem termo direto) é
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B+D,
aqui D=0. Calculamos sI-A:
sI-A=\begin{pmatrix}s+8 & -1\\[4pt]15 & s\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(sI-A)=(s+8)s-(-1)(15)=s^2+8s+15=(s+3)(s+5).
A inversa (sI-A)^{-1} (matriz 2\times2) vale
(sI-A)^{-1}=\frac{1}{s^2+8s+15}\begin{pmatrix}s & 1\\[4pt]-15 & s+8\end{pmatrix}.
Multiplicando por B=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} obtemos
(sI-A)^{-1}B=\frac{1}{s^2+8s+15}\begin{pmatrix}1\\[4pt]s+8\end{pmatrix}.
Agora
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B=\begin{pmatrix}2 & 0\end{pmatrix}\frac{1}{s^2+8s+15}\begin{pmatrix}1\\[4pt]s+8\end{pmatrix} =\frac{2}{s^2+8s+15}.]

Passo 3

Agora vamos calcular a resposta completa com condição inicial. Aplicando transformada de Laplace à equação de estado
sX(s)-\mathrm{x}_{0}=A X(s)+B U(s),
passando termos,
(sI-A)X(s)=\mathrm{x}_{0}+B U(s).
Logo
X(s)=(sI-A)^{-1}\mathrm{x}_{0}+(sI-A)^{-1}B\,U(s).
Para u(t)=1(t) temos U(s)=\dfrac{1}{s}. Já calculamos (sI-A)^{-1}. Agora calculemos (sI-A)^{-1}\mathrm{x}_{0}:
(sI-A)^{-1}\mathrm{x}_{0} =\frac{1}{s^2+8s+15}\begin{pmatrix}s & 1\\[4pt]-15 & s+8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{s^2+8s+15}\begin{pmatrix}s+1\\[4pt]s-7\end{pmatrix}.
Aplicando C para obter Y(s)=C X(s),
Y(s)=C\,(sI-A)^{-1}\mathrm{x}_{0}+C\,(sI-A)^{-1}B\,\frac{1}{s}.
Já temos os dois termos:
C\,(sI-A)^{-1}\mathrm{x}_{0} =\begin{pmatrix}2 & 0\end{pmatrix}\frac{1}{s^2+8s+15}\begin{pmatrix}s+1\\[4pt]s-7\end{pmatrix} =\frac{2(s+1)}{s^2+8s+15},
e já calculamos C\,(sI-A)^{-1}B=\dfrac{2}{s^2+8s+15}, logo
Y(s)=\frac{2(s+1)}{s^2+8s+15}+\frac{2}{s\,(s^2+8s+15)}.
Colocando em uma única fração:
Y(s)=\frac{2\bigl(s(s+1)+1\bigr)}{s\,(s^2+8s+15)} =\frac{2\bigl(s^2+s+1\bigr)}{s\,(s+3)(s+5)}.]

Passo 4

Agora fazemos a decomposição em frações parciais para inverter a transformada de Laplace. Escrevemos
\frac{2(s^2+s+1)}{s(s+3)(s+5)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s+5}.
Multiplicando por s(s+3)(s+5),
2(s^2+s+1)=A(s+3)(s+5)+B s(s+5)+C s(s+3).
Escolhendo valores de s para achar A,B,C:
  • Para s=0:
2(0+0+1)=2=15A\quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{15}.
  • Para s=-3:
2(9-3+1)=14 = B(-3)(2)=-6B\quad\Rightarrow\quad B=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3}.
  • Para s=-5:
2(25-5+1)=42 = C(-5)(-2)=10C\quad\Rightarrow\quad C=\frac{42}{10}=\frac{21}{5}.
Assim a decomposição é
Y(s)=\frac{2}{15}\frac{1}{s}-\frac{7}{3}\frac{1}{s+3}+\frac{21}{5}\frac{1}{s+5}.
Invertendo a transformada de Laplace (lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}) obtemos, para t\ge0,
y(t)=\frac{2}{15}-\frac{7}{3}e^{-3t}+\frac{21}{5}e^{-5t}.

Passo 5

Vamos fazer uma checagem rápida (rápida e útil para a prova):
  • Valor inicial y(0) deve ser C\mathrm{x}(0)=\begin{pmatrix}2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=2. Pelo resultado:
y(0)=\frac{2}{15}-\frac{7}{3}+\frac{21}{5}=\frac{2-35+63}{15}=\frac{30}{15}=2,
confere.
  • Valor em regime permanente t\to\infty (final value) é \dfrac{2}{15}, que também coincide com \lim_{s\to0}sY(s)=2/15. Tudo consistente.]

Resposta

y(t)=\dfrac{2}{15}-\dfrac{7}{3}e^{-3t}+\dfrac{21}{5}e^{-5t}\n
G(s)=\dfrac{2}{s^{2}+8s+15} = \dfrac{2}{(s+3)(s+5)}

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