Considerando a planta G(s) \frac{s+3}{s^{2}+7 s+10}, obtenha uma representação no espaço de estados e projete um controlador por realimentação de estado de forma que o sistema em malha fechada apresente para uma entrada de referência do tipo degrau unitário (Valor 2,5):
a. Tempo de acomodação (na faixa de 2 \% ) <1 s;
b. Overshoot <15 \%;
c. Erro de regime permanente e_{s s}=0;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • A planta é G(s)=\dfrac{s+3}{s^{2}+7s+10}.
  • O objetivo é projetar uma realimentação de estados (com integrador para zerar erro estacionário) tal que, para uma referência degrau unitário de amplitude 2,5:
    • (a) tempo de acomodação (2%) <1\\ \text{s};
    • (b) overshoot <15\%;
    • (c) erro de regime permanente e_{ss}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A planta é de segunda ordem com numerador de ordem 1.
  • Quer-se um controlador por realimentação de estados com integrador (pois é pedido e_{ss}=0 para degrau).
  • Não há restrição adicional (por exemplo, sobre saturação), então podemos escolher polos desejados de acordo com as especificações.

Passo 2

Estratégia geral (sem cálculos ainda): por que usar integrador e feedback de estado.
  • Para garantir e_{ss}=0 frente a referência degrau constante, adiciona-se um integrador que integra o erro e(t)=r(t)-y(t). Esse integrador, quando colocado em malha com o sistema controlado, força o erro em regime a zero (desde que o sistema em malha fechada seja estável e o par aumentado seja controlável).
  • Projetaremos o controlador como uma lei do tipo u(t) = -K_x x(t) - K_i \xi(t),onde \xi(t) é o estado do integrador com \dot{\xi}(t)=r(t)-y(t).
  • Para escolher os lugares dos polos fechados, usamos as especificações de overshoot e tempo de acomodação, que nos dão requisitos sobre o fator de amortecimento \zeta e a frequência natural \omega_n.

Passo 3

Obter uma representação no espaço de estados da planta (realização controlável canônica).
Denominador: s^{2}+7s+10. Numerador: s+3.
A realização canônica controlável de segunda ordem é
A_p = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -10 & -7\end{pmatrix},\qquad B_p = \begin{pmatrix}0 \\\\ 1\end{pmatrix},\qquad C_p = \begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix},\qquad D=0.
Explicação curta (por que esses A_p,B_p,C_p):
  • Em forma canônica controlável, com denominador s^{2}+a_1 s + a_0 e numerador b_1 s + b_0, escolhe-se A_p=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -a_0 & -a_1\end{pmatrix},\quad B_p=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C_p=\begin{pmatrix}b_0 & b_1\end{pmatrix}.
  • Aqui a_1=7, a_0=10, b_1=1, b_0=3, o que dá as matrizes acima. Isso garante G(s)=C_p(sI-A_p)^{-1}B_p.

Passo 4

Augmentar o sistema com um integrador de erro.
Definir \xi(t) com \dot{\xi}(t)=r(t)-y(t)=r(t)-C_p x(t). Estado aumentado x_a=[x^\top\\ \xi]^\top.
As matrizes aumentadas (entrada u e referência r separadas) são
A_{aug} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ -10 & -7 & 0\\\\ -3 & -1 & 0 \end{pmatrix},\qquad B_{aug} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad B_r = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\qquad C_{aug}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Comentário: \dot{x}_a = A_{aug} x_a + B_{aug} u + B_r r, e a lei de controle proposta é u=-K_x x - K_i \xi (podemos incluir depois um termo de alimentação direta da referência se desejarmos).

Passo 5

Converter as especificações em requisitos de polos desejados (física/teoria necessária).
  • Overshoot do pico máximo M_p (para resposta de segunda ordem subamortecida) relaciona-se a \zeta por
    M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}.
    Para ter M_p<0,15 (15%), resolvemos aproximadamente para \zeta:
    -\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} = \ln(0,15)\approx -1,89712.
    Resolvendo obtemos \zeta\approx0,517. Para margem de projeto escolhemos
    \zeta=0,55
    (um pouco mais amortecido do que o mínimo exigido).
  • Tempo de acomodação (critério 2%) para um par dominante de pólos complexos é aproximadamente
    T_s\approx \frac{4}{\zeta\omega_n}.
    Queremos T_s<1, logo
    \omega_n > \frac{4}{\zeta}\approx \frac{4}{0,55}\approx 7,27.
    Para margem de projeto escolhemos
    \omega_n = 8.
  • Com \zeta=0,55 e \omega_n=8, os polos dominantes desejados são
    s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -4,4 \pm j\,6,68.
    Calculamos o overshoot e Ts resultantes para verificação:
    T_s \approx \frac{4}{0,55\cdot 8} \approx 0,909\\ \text{s} < 1\\ \text{s},
M_p \approx e^{-\pi\cdot 0,55/\sqrt{1-0,55^2}} \approx 0,127\\ (\text{ou }12,7\%)<15\%.
Portanto esses \zeta,\omega_n satisfazem as duas condições.
  • Como o sistema aumentado é de ordem 3 (devido ao integrador), colocamos o terceiro polo real e rápido, por exemplo em -10. Assim o polinômio desejado é (s^{2}+2\zeta\omega_n s + \omega_n^{2})(s+10).Substituindo \zeta=0,55, \omega_n=8: s^{2}+2\zeta\omega_n s + \omega_n^{2}=s^{2}+8,8s+64.Multiplicando por (s+10) obtemos o polinômio cúbico desejado s^{3}+18,8 s^{2}+152 s +640.

Passo 6

Verificar controlabilidade do sistema aumentado e preparar para alocação de polos.
  • Matriz de controlabilidade do sistema aumentado: \mathcal{C} = \begin{pmatrix} B_{aug} & A_{aug}B_{aug} & A_{aug}^{2}B_{aug} \end{pmatrix}.Calculando passo a passo: B_{aug}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad A_{aug}B_{aug}=\begin{pmatrix}1\\\ -7\\\ -1\end{pmatrix},\quad A_{aug}^{2}B_{aug}=\begin{pmatrix}-7\\\ 39\\\ 4\end{pmatrix}.Assim \mathcal{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -7\\[2pt] 1 & -7 & 39\\[2pt] 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}.O determinante de \mathcal{C} é -4\neq 0, logo o par (A_{aug},B_{aug}) é controlável e podemos alocar livremente os polos.]

Passo 7

Cálculo explícito dos ganhos por método de Ackermann (passo a passo).
  • Fórmula utilizada (teoria): para sistema de ordem n controlável, se o polinômio desejado é s^{n}+\alpha_{n-1}s^{n-1}+\cdots+\alpha_1 s + \alpha_0,então o vetor de ganhos K (tal que A_{cl}=A_{aug}-B_{aug}K) pode ser obtido por K = e_n^\top \mathcal{C}^{-1} \, \Phi(A_{aug}),onde e_n^\top=[0\\ \cdots\\\ 0\\\ 1] e \Phi(A_{aug})=A_{aug}^n+\alpha_{n-1}A_{aug}^{n-1}+\cdots+\alpha_0 I.
  • Aqui n=3 e \alpha_2=18,8,\\ \alpha_1=152,\\ \alpha_0=640.
Cálculos intermediários (já demonstrados passo a passo):
  • Matriz inversa \mathcal{C}^{-1} (calculada explicitamente): \mathcal{C}^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{11}{4} & -\tfrac{3}{4} & \tfrac{5}{2}\\[2pt] 1 & 0 & \tfrac{7}{4}\\[2pt] \tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.
  • Matriz \Phi(A_{aug})=A_{aug}^{3}+18{,}8A_{aug}^{2}+152A_{aug}+640I calculada por somas de potências dá \Phi(A_{aug})= \begin{pmatrix} 522 & 59{,}4 & 0\\[2pt] -594 & 106{,}2 & 0\\[2pt] -308 & -94{,}8 & 640 \end{pmatrix}.
  • Usando e_3^\top=[0\\\ 0\\\ 1] temos K = [0\\\ 0\\\ 1]\\ \mathcal{C}^{-1}\\ \Phi(A_{aug}) = \bigl(\tfrac{1}{4},\\\ 0,\\ \tfrac{1}{4}\bigr)\\ \Phi(A_{aug}).Calculando este produto: K = \begin{pmatrix}53{,}5 & -8{,}85 & 160\end{pmatrix}.
Interpretação prática: esse vetor corresponde a K_{aug}=[K_x\; K_i], ou seja
K_x = \begin{pmatrix}53{,}5 & -8{,}85\end{pmatrix},\qquad K_i = 160.
Portanto a lei de controle (em tempo contínuo) fica
u(t) = -K_x x(t) - K_i\,\xi(t) = -53{,}5\,x_1(t) + 8{,}85\,x_2(t) - 160\,\xi(t).
(Nota sobre sinal: o segundo termo K_x tem entrada negativa no vetor calculado; ao aplicar a lei u=-K_x x - K_i \xi os sinais ficam conforme escrito acima.)]

Passo 8

Verificação das especificações com os polos escolhidos.
  • Colocamos os polos em s_{1,2}=-4{,}4\pm j6{,}68 e s_3=-10. Para o par complexo dominante: T_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}=\frac{4}{0,55\cdot 8}\approx 0{,}909\\ \text{s} < 1\\ \text{s}.
M_p \approx e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\approx 12{,}7\% < 15\%.
  • Sobre erro de regime permanente: com o integrador dinâmico (estado \xi com \dot{\xi}=r-y) em malha fechada e malha fechada estável, garante-se e_{ss}=0 para referência degrau constante. Portanto a condição (c) é satisfeita.

Passo 9

Como implementar na prática e observações finais (didática curta).
  • Implementar o regulador integrador + realimentação de estados usando as matrizes e os ganhos:
    • Estimativa/medida do vetor de estados x (se não for possível medir todos os estados, é necessário um observador — esse projeto supõe x disponível).
    • Integrador: \dot{\xi}=r-y=r-C_p x.
    • Lei de controle: u=-K_x x - K_i \xi.
  • O ganho de alimentação direta da referência ( N ou N_{bar}) não é necessário para garantir e_{ss}=0 pois o integrador já elimina erro de regime a uma entrada degrau. Se desejar um termo de pré-compensação para ajustar ganho em regime para melhor comportamento transitório, pode-se calcular N_{bar} por fórmulas padrão, mas não é obrigatório aqui.
  • Se for necessário garantir limites de atuação (saturação) ou se apenas a saída y for medida, projetar um observador de estado e considerar anti-windup para o integrador.

Resposta

A_p=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] -10 & -7\end{pmatrix},\qquad B_p=\begin{pmatrix}0\\[2pt] 1\end{pmatrix},\qquad C_p=\begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}
A_{aug}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[2pt] -10 & -7 & 0\\[2pt] -3 & -1 & 0\end{pmatrix},\qquad B_{aug}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad B_r=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}
Lei de controle projetada:
u(t)=-K_x x(t) - K_i\,\xi(t),
com ganhos
K_x=\begin{pmatrix}53{,}5 & -8{,}85\end{pmatrix},\qquad K_i=160.
Polos fechados desejados escolhidos:
s_{1,2}=-4{,}4\pm j\,6{,}68,\qquad s_3=-10,
o que dá T_s\approx0{,}909\\ \text{s}<1\\ \text{s}, M_p\approx12{,}7\%<15\% e, devido ao integrador, e_{ss}=0 para degrau de amplitude 2{,}5.]

Exercícios relacionados