Considerando a planta G(s) \frac{s+3}{s^{2}+7 s+10}, obtenha uma representação no espaço de estados e projete um controlador por realimentação de estado de forma que o sistema em malha fechada apresente para uma entrada de referência do tipo degrau unitário (Valor 2,5):
a. Tempo de acomodação (na faixa de 2 \% ) <1 s;
b. Overshoot <15 \%;
c. Erro de regime permanente e_{s s}=0;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
A planta é G(s)=\dfrac{s+3}{s^{2}+7s+10}.
O objetivo é projetar uma realimentação de estados (com integrador para zerar erro estacionário) tal que, para uma referência degrau unitário de amplitude 2,5:
(a) tempo de acomodação (2%) <1\\ \text{s};
(b) overshoot <15\%;
(c) erro de regime permanente e_{ss}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A planta é de segunda ordem com numerador de ordem 1.
Quer-se um controlador por realimentação de estados com integrador (pois é pedido e_{ss}=0 para degrau).
Não há restrição adicional (por exemplo, sobre saturação), então podemos escolher polos desejados de acordo com as especificações.
Passo 2
Estratégia geral (sem cálculos ainda): por que usar integrador e feedback de estado.
Para garantir e_{ss}=0 frente a referência degrau constante, adiciona-se um integrador que integra o erro e(t)=r(t)-y(t). Esse integrador, quando colocado em malha com o sistema controlado, força o erro em regime a zero (desde que o sistema em malha fechada seja estável e o par aumentado seja controlável).
Projetaremos o controlador como uma lei do tipou(t) = -K_x x(t) - K_i \xi(t),onde \xi(t) é o estado do integrador com \dot{\xi}(t)=r(t)-y(t).
Para escolher os lugares dos polos fechados, usamos as especificações de overshoot e tempo de acomodação, que nos dão requisitos sobre o fator de amortecimento \zeta e a frequência natural \omega_n.
Passo 3
Obter uma representação no espaço de estados da planta (realização controlável canônica).
Denominador: s^{2}+7s+10. Numerador: s+3.
A realização canônica controlável de segunda ordem é
Em forma canônica controlável, com denominador s^{2}+a_1 s + a_0 e numerador b_1 s + b_0, escolhe-seA_p=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -a_0 & -a_1\end{pmatrix},\quad B_p=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C_p=\begin{pmatrix}b_0 & b_1\end{pmatrix}.
Aqui a_1=7, a_0=10, b_1=1, b_0=3, o que dá as matrizes acima. Isso garante G(s)=C_p(sI-A_p)^{-1}B_p.
Passo 4
Augmentar o sistema com um integrador de erro.
Definir \xi(t) com \dot{\xi}(t)=r(t)-y(t)=r(t)-C_p x(t). Estado aumentado x_a=[x^\top\\ \xi]^\top.
As matrizes aumentadas (entrada u e referência r separadas) são
Comentário: \dot{x}_a = A_{aug} x_a + B_{aug} u + B_r r, e a lei de controle proposta é u=-K_x x - K_i \xi (podemos incluir depois um termo de alimentação direta da referência se desejarmos).
Passo 5
Converter as especificações em requisitos de polos desejados (física/teoria necessária).
Overshoot do pico máximo M_p (para resposta de segunda ordem subamortecida) relaciona-se a \zeta por
M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}.
Para ter M_p<0,15 (15%), resolvemos aproximadamente para \zeta:
Portanto esses \zeta,\omega_n satisfazem as duas condições.
Como o sistema aumentado é de ordem 3 (devido ao integrador), colocamos o terceiro polo real e rápido, por exemplo em -10. Assim o polinômio desejado é(s^{2}+2\zeta\omega_n s + \omega_n^{2})(s+10).Substituindo \zeta=0,55, \omega_n=8:s^{2}+2\zeta\omega_n s + \omega_n^{2}=s^{2}+8,8s+64.Multiplicando por (s+10) obtemos o polinômio cúbico desejados^{3}+18,8 s^{2}+152 s +640.
Passo 6
Verificar controlabilidade do sistema aumentado e preparar para alocação de polos.
Matriz de controlabilidade do sistema aumentado:\mathcal{C} = \begin{pmatrix} B_{aug} & A_{aug}B_{aug} & A_{aug}^{2}B_{aug} \end{pmatrix}.Calculando passo a passo:B_{aug}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad A_{aug}B_{aug}=\begin{pmatrix}1\\\ -7\\\ -1\end{pmatrix},\quad A_{aug}^{2}B_{aug}=\begin{pmatrix}-7\\\ 39\\\ 4\end{pmatrix}.Assim\mathcal{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -7\\[2pt] 1 & -7 & 39\\[2pt] 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}.O determinante de \mathcal{C} é -4\neq 0, logo o par (A_{aug},B_{aug}) é controlável e podemos alocar livremente os polos.]
Passo 7
Cálculo explícito dos ganhos por método de Ackermann (passo a passo).
Fórmula utilizada (teoria): para sistema de ordem n controlável, se o polinômio desejado és^{n}+\alpha_{n-1}s^{n-1}+\cdots+\alpha_1 s + \alpha_0,então o vetor de ganhos K (tal que A_{cl}=A_{aug}-B_{aug}K) pode ser obtido porK = e_n^\top \mathcal{C}^{-1} \, \Phi(A_{aug}),onde e_n^\top=[0\\ \cdots\\\ 0\\\ 1] e \Phi(A_{aug})=A_{aug}^n+\alpha_{n-1}A_{aug}^{n-1}+\cdots+\alpha_0 I.
Aqui n=3 e \alpha_2=18,8,\\ \alpha_1=152,\\ \alpha_0=640.
Cálculos intermediários (já demonstrados passo a passo):
(Nota sobre sinal: o segundo termo K_x tem entrada negativa no vetor calculado; ao aplicar a lei u=-K_x x - K_i \xi os sinais ficam conforme escrito acima.)]
Passo 8
Verificação das especificações com os polos escolhidos.
Colocamos os polos em s_{1,2}=-4{,}4\pm j6{,}68 e s_3=-10. Para o par complexo dominante:T_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}=\frac{4}{0,55\cdot 8}\approx 0{,}909\\ \text{s} < 1\\ \text{s}.
Sobre erro de regime permanente: com o integrador dinâmico (estado \xi com \dot{\xi}=r-y) em malha fechada e malha fechada estável, garante-se e_{ss}=0 para referência degrau constante. Portanto a condição (c) é satisfeita.
Passo 9
Como implementar na prática e observações finais (didática curta).
Implementar o regulador integrador + realimentação de estados usando as matrizes e os ganhos:
Estimativa/medida do vetor de estados x (se não for possível medir todos os estados, é necessário um observador — esse projeto supõe x disponível).
Integrador: \dot{\xi}=r-y=r-C_p x.
Lei de controle: u=-K_x x - K_i \xi.
O ganho de alimentação direta da referência (N ou N_{bar}) não é necessário para garantir e_{ss}=0 pois o integrador já elimina erro de regime a uma entrada degrau. Se desejar um termo de pré-compensação para ajustar ganho em regime para melhor comportamento transitório, pode-se calcular N_{bar} por fórmulas padrão, mas não é obrigatório aqui.
Se for necessário garantir limites de atuação (saturação) ou se apenas a saída y for medida, projetar um observador de estado e considerar anti-windup para o integrador.