Aplicando o conhecimento obtido no sistema discreto (Cap. 3), para o sistema descrito: (3,5ptos)
Determine a resposta de entrada nula e de estado nulo e sua estabilidade:
Passo 1
O exercício pede para a gente trabalhar com um sistema discreto (capítulo 3) descrito por
- condições iniciais:
- equação de diferença
- entrada
A gente vai precisar de:
- Zero‐input response (resposta de entrada nula): resolver a parte homogênea com
. - Zero‐state response (resposta de estado nulo): achar a particular para
com condições iniciais zeradas. - Verificar estabilidade via os polos da característica.
Passo 2
Zero‐input response (entrada nula):
- Colocamos
e resolvemos
- Equação característica:
- Solução geral:
- Usamos as condições iniciais
e : - Para
: . - Para
: . - Substituindo:
, logo .
- Para
- Portanto
Passo 3
Zero‐state response (estado nulo):
- Agora colocamos condições iniciais
e mantemos . - Como a entrada é uma exponencial, tentamos uma particular
- Substituindo na equação de diferença:
- Calculando o parêntese:
- Para dar
do lado direito, precisamos de
- Logo
Passo 4
Estabilidade do sistema:
- A característica é
, ou seja, polos em (módulo 3 maior que 1). - Como
, o sistema é instável.
Resposta
Zero‐input response:
Zero‐state response:
Estabilidade: o sistema é instável (polos em
com
).