Aplicando o conhecimento obtido no sistema discreto (Cap. 3), para o sistema descrito: (3,5ptos)
l y[+1]=1 y[+2]=0 y[n+2]+6 y[n+1]+9 y[n]=x[n] x[n]=5^-2 n u[n]
Determine a resposta de entrada nula e de estado nulo e sua estabilidade:

Passo 1

O exercício pede para a gente trabalhar com um sistema discreto (capítulo 3) descrito por
  1. condições iniciais:
y[1]=1, y[2]=0
  1. equação de diferença
y[n+2]+6,y[n+1]+9,y[n]=x[n]
  1. entrada
x[n]=5^-2n,u[n]
A gente vai precisar de:
  • Zero‐input response (resposta de entrada nula): resolver a parte homogênea com x[n]=0.
  • Zero‐state response (resposta de estado nulo): achar a particular para y[n] com condições iniciais zeradas.
  • Verificar estabilidade via os polos da característica.

Passo 2

Zero‐input response (entrada nula):
  1. Colocamos x[n]=0 e resolvemos
yh[n+2]+6,yh[n+1]+9,yh[n]=0
  1. Equação característica:
r^2+6r+9=0;Longrightarrow;(r+3)^2=0;Longrightarrow;r=-3 (duplo)
  1. Solução geral:
yh[n]=l(A+B,nr),(-3)^n
  1. Usamos as condições iniciais yh[1]=1 e yh[2]=0:
    • Para n=1: (A+B),(-3)^1=1implies -3(A+B)=1implies A+B=-tfrac13.
    • Para n=2: (A+2B),(-3)^2=0implies 9(A+2B)=0implies A+2B=0implies A=-2B.
    • Substituindo: -2B+B=-tfrac13implies -B=-tfrac13implies B=tfrac13, logo A=-tfrac23.
  2. Portanto
boxedyZI[n]=yh[n]=l(-tfrac23+tfrac n3r)(-3)^n

Passo 3

Zero‐state response (estado nulo):
  1. Agora colocamos condições iniciais y[1]=y[2]=0 e mantemos x[n]=5^-2nu[n].
  2. Como a entrada é uma exponencial, tentamos uma particular
yp[n]=K,5^-2n
  1. Substituindo na equação de diferença:
K,5^-2(n+2) +6K,5^-2(n+1)+9K,5^-2n =K,5^-2nl(5^-4+6cdot5^-2+9r)stackrel!=5^-2n
  1. Calculando o parêntese:
5^-4=tfrac1625,6cdot5^-2=tfrac625=tfrac150625,9=tfrac5625625
implies5^-4+6cdot5^-2+9=tfrac1+150+5625625=tfrac5776625
  1. Para dar 5^-2n do lado direito, precisamos de
K;tfrac5776625=1Longrightarrow K=tfrac6255776
  1. Logo
boxedyZS[n]=yp[n] =6255776;5^-2n,u[n]

Passo 4

Estabilidade do sistema:
  • A característica é (z+3)^2=0, ou seja, polos em z=-3 (módulo 3 maior que 1).
  • Como |-3|>1, o sistema é instável.

Resposta

Zero‐input response:
yZI[n] =l(-tfrac23+tfrac n3r)(-3)^n
Zero‐state response:
yZS[n] =6255776;5^-2n,u[n]
Estabilidade: o sistema é instável (polos em z=-3 com |-3|>1).

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