Encontre os restos das seguintes divisōes:
120 \times 125 \times 127 por 7 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o resto da divisão de 120\times125\times127 por 7.
Informações dadas:
  • Os fatores são 120, 125 e 127.
  • O divisor é 7.
Objetivo claro: calcular o resto quando se divide o produto 120\cdot125\cdot127 por 7.

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): o resto da divisão por 7 é a mesma coisa que trabalhar em aritmética modular módulo 7. Dizemos que dois números a e b são congruentes módulo 7 se eles deixam o mesmo resto ao dividir por 7. Escreve-se:
a\equiv b\pmod{7}
Propriedade útil e simples: se a\equiv a'\pmod{7} e b\equiv b'\pmod{7}, então
ab\equiv a'b'\pmod{7}.
Isto significa que podemos reduzir cada fator ao seu resto mod 7 e depois multiplicar os restos — o resultado terá o mesmo resto final. É muito prático porque evita multiplicações grandes.

Passo 3

Calcular o resto de 120 ao dividir por 7. Faço a divisão por subtrações múltiplas:
120 = 17\cdot7 + 1,
logo o resto é 1. Em notação modular:
120\equiv1\pmod{7}.

Passo 4

Calcular o resto de 125 ao dividir por 7:
125 = 17\cdot7 + 6,
logo o resto é 6. Em notação modular:
125\equiv6\pmod{7}.
Observação curta e útil: 6 é também congruente a -1 módulo 7, pois 6\equiv -1\pmod{7}. Às vezes é mais rápido usar -1.

Passo 5

Calcular o resto de 127 ao dividir por 7:
127 = 18\cdot7 + 1,
logo o resto é 1. Em notação modular:
127\equiv1\pmod{7}.

Passo 6

Agora multiplico os restos (propriedade do Passo 2):
120\cdot125\cdot127 \equiv 1\cdot6\cdot1 \pmod{7}.
Fazendo a conta:
1\cdot6\cdot1 = 6.
Portanto o produto é congruente a 6 módulo 7.

Passo 7

Verificação alternativa (mais curta, só para treino): usando 125\equiv-1\pmod{7} e 120\equiv1, 127\equiv1, tem-se
120\cdot125\cdot127\equiv 1\cdot(-1)\cdot1 \equiv -1 \equiv 6\pmod{7},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

6

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