Encontre os restos das seguintes divisōes:
85^{2} \times 88 por 9 .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 85^{2}\times88 por 9. Informações dadas:
  • O número a dividir é 85^{2}\times88.
  • O divisor é 9.
    O objetivo: encontrar o resto (um inteiro entre 0 e 8) tal que
85^{2}\times88 \equiv r \pmod{9}.

Passo 2

Conceito útil (explicado devagar): trabalhar “resto por 9” é trabalhar com congruências módulo 9. Se dois números a e b satisfazem
a\equiv b \pmod{9},
então podemos substituir a por b dentro de somas, produtos e potências sem mudar o resto final. Assim, é prático reduzir cada fator ao seu resto modulo 9 antes de multiplicar — fica muito mais simples fazer as contas na prova.

Passo 3

Reduzir 85 módulo 9. Faço a subtração de um múltiplo de 9 próximo:
85-81=4,
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85\equiv4\pmod{9}.

Passo 4

Reduzir 88 módulo 9. Faço a subtração:
88-81=7,
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88\equiv7\pmod{9}.

Passo 5

Agora substituo na expressão usando as congruências (propriedade: se a\equiv a' e b\equiv b' então a^2 b\equiv (a')^2 b'):
85^{2}\times88 \equiv 4^{2}\times7 \pmod{9}.

Passo 6

Calculo 4^{2}\times7 passo a passo:
4^{2}=16,
16\times7=112.
Portanto
85^{2}\times88 \equiv 112 \pmod{9}.

Passo 7

Encontrar o resto de 112 por 9. Posso subtrair múltiplos de 9: 9\times12=108, então
112-108=4.
Alternativa rápida (truque do “soma dos dígitos”): 1+1+2=4, e a soma dos dígitos dá o mesmo resto modulo 9. Em qualquer caso,
112\equiv4\pmod{9}.

Passo 8

Conclusão: o resto da divisão de 85^{2}\times88 por 9 é 4.

Resposta

4

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