Encontre o resultado de \ln _{x \rightarrow \infty} \frac{8}{x-3} e assinale a alternativa correta:
A) 0
B) 2
C) 4
D) -3
E) -4

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o valor do limite quando x tende a infinito da função \ln\!\left(\dfrac{8}{x-3}\right).
Informações dadas:
  • A expressão cuja limitação é pedida é \ln\!\left(\dfrac{8}{x-3}\right).
  • O ponto para o qual x se aproxima é x\to\infty.
  • As alternativas oferecidas são: A) 0, B) 2, C) 4, D) -3, E) -4.

Passo 2

Vamos primeiro analisar a parte dentro do logaritmo, que é a função racional \dfrac{8}{x-3}. Quero saber para que valor essa fração tende quando x\to\infty.
Regra usada: se temos uma função do tipo \dfrac{\text{constante}}{x} e x\to\infty, então essa fração tende a 0. Mais precisamente, para x grande, o termo (x-3) cresce sem limite e o numerador 8 é fixo, então a razão fica cada vez menor.
Aplicando aqui:
\lim_{x\to\infty}\frac{8}{x-3}=0.
Observação didática: dizer que a fração tende a 0 significa que seus valores ficam positivos e cada vez mais próximos de 0 (ou seja, tendem a 0^+) porque o numerador é positivo e o denominador, para x suficientemente grande, também é positivo.

Passo 3

Agora aplicamos o logaritmo natural sobre essa informação. Precisamos conhecer o comportamento da função \ln t quando t se aproxima de 0 pela direita.
Fato importante sobre \ln:
  • A função \ln t está definida para t>0.
  • Quando t\to 0^+, temos \ln t \to -\infty. Em palavras: o logaritmo natural de um número positivo que vai a zero diverge negativamente sem limite.
Exemplo simples para fixar a ideia: \ln(0{,}1)\approx -2{,}302, \ln(0{,}01)\approx -4{,}605: conforme o argumento fica menor (próximo de zero), o logaritmo fica cada vez mais negativo.

Passo 4

Combinei os dois fatos:
  • \dfrac{8}{x-3}\to 0^+ quando x\to\infty.
  • \ln t \to -\infty quando t\to 0^+.
Portanto,
\lim_{x\to\infty}\ln\!\left(\frac{8}{x-3}\right) = -\infty.
Interpretação: o limite não é um número finito — a expressão decresce sem limite quando x cresce.

Passo 5

Agora comparo com as alternativas oferecidas. Todas as alternativas listam números finitos: 0,2,4,-3,-4. O resultado correto que achamos é -\infty, que não está entre as opções A–E. Logo, nenhuma das alternativas apresenta a resposta correta.

Resposta

Nenhuma das alternativas — -\infty

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