Encontre o resultado de
e assinale a alternativa correta:
A) 0
B) 2
C) 4
D) -3
E) -4
A) 0
B) 2
C) 4
D) -3
E) -4
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o valor do limite quando
tende a infinito da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão cuja limitação é pedida é
. - O ponto para o qual
se aproxima é . - As alternativas oferecidas são: A)
, B) , C) , D) , E) .
Passo 2
Vamos primeiro analisar a parte dentro do logaritmo, que é a função racional
. Quero saber para que valor essa fração tende quando
.
Regra usada: se temos uma função do tipo
e
, então essa fração tende a
. Mais precisamente, para
grande, o termo
cresce sem limite e o numerador
é fixo, então a razão fica cada vez menor.
Aplicando aqui:
Observação didática: dizer que a fração tende a
significa que seus valores ficam positivos e cada vez mais próximos de
(ou seja, tendem a
) porque o numerador é positivo e o denominador, para
suficientemente grande, também é positivo.
Passo 3
Agora aplicamos o logaritmo natural sobre essa informação. Precisamos conhecer o comportamento da função
quando
se aproxima de
pela direita.
Fato importante sobre
:
- A função
está definida para . - Quando
, temos . Em palavras: o logaritmo natural de um número positivo que vai a zero diverge negativamente sem limite.
Exemplo simples para fixar a ideia:
,
: conforme o argumento fica menor (próximo de zero), o logaritmo fica cada vez mais negativo.
Passo 4
Combinei os dois fatos:
-
quando . -
quando .
Portanto,
Interpretação: o limite não é um número finito — a expressão decresce sem limite quando
cresce.
Passo 5
Agora comparo com as alternativas oferecidas. Todas as alternativas listam números finitos:
. O resultado correto que achamos é
, que não está entre as opções A–E. Logo, nenhuma das alternativas apresenta a resposta correta.
Resposta
Nenhuma das alternativas —