A desigualdade |x-3|<12 é satisfeita para todos os números reais tais que:
A) -12<x<12
B) -9<x<15
C) 3<x<9
D) 9<x<12
E) 12<x<15

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade |x-3|<12 e pede para determinar para quais números reais ela é satisfeita. As alternativas fornecidas são:
A) -12<x<12
B) -9<x<15
C) 3<x<9
D) 9<x<12
E) 12<x<15

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma simples e visual: para qualquer número real y, o valor |y| representa a distância de y até 0 na reta real. Logo, a desigualdade |y|<a (com a>0) significa que a distância de y a 0 é menor que a, ou seja, y está entre -a e a. Em símbolos:
\text{Se }a>0\text{ então }|y|<a \iff -a<y<a.ã
Esse é um fato básico que usaremos. Não precisa decorar prova: pense sempre "distância menor que a".

Passo 3

Aplique o fato do passo anterior com y=x-3 e a=12. Assim,
|x-3|<12 \iff -12 < x-3 < 12.
Aqui estamos traduzindo a frase "a distância entre x e 3 é menor que 12" para uma desigualdade dupla.

Passo 4

Agora isolamos x na desigualdade dupla. Para isso somamos 3 em todas as partes da desigualdade:
-12 < x-3 < 12
somando 3:
-12+3 < x-3+3 < 12+3.
Calcule as somas:
-9 < x < 15.
Pronto: esse é o intervalo de todos os x que satisfazem a desigualdade original.

Passo 5

Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Teste um ponto dentro do intervalo, por exemplo x=0. Então |0-3|=|{-3}|=3<12, ok.
  • Teste um ponto fora, por exemplo x=-10. Então |-10-3|=|{-13}|=13\not<12, logo não vale.
  • Teste os extremos x=-9 e x=15: |-9-3|=|{-12}|=12 e |15-3|=12; como a desigualdade é estrita (<12), esses extremos não estão incluídos. Isso confirma que o intervalo é aberto nas duas extremidades.

Passo 6

Compare o intervalo obtido com as alternativas dadas: -9<x<15 corresponde exatamente à alternativa B.

Resposta

B) -9<x<15

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