A desigualdade
é satisfeita para todos os números reais tais que:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede para determinar para quais números reais ela é satisfeita. As alternativas fornecidas são:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 2
Entendendo o valor absoluto de forma simples e visual: para qualquer número real
, o valor
representa a distância de
até
na reta real. Logo, a desigualdade
(com
) significa que a distância de
a
é menor que
, ou seja,
está entre
e
. Em símbolos:
Esse é um fato básico que usaremos. Não precisa decorar prova: pense sempre "distância menor que
".
Passo 3
Aplique o fato do passo anterior com
e
. Assim,
Aqui estamos traduzindo a frase "a distância entre
e
é menor que
" para uma desigualdade dupla.
Passo 4
Agora isolamos
na desigualdade dupla. Para isso somamos
em todas as partes da desigualdade:
somando
:
Calcule as somas:
Pronto: esse é o intervalo de todos os
que satisfazem a desigualdade original.
Passo 5
Verificações rápidas para ganhar confiança:
- Teste um ponto dentro do intervalo, por exemplo
. Então , ok. - Teste um ponto fora, por exemplo
. Então , logo não vale. - Teste os extremos
e : e ; como a desigualdade é estrita , esses extremos não estão incluídos. Isso confirma que o intervalo é aberto nas duas extremidades.
Passo 6
Compare o intervalo obtido com as alternativas dadas:
corresponde exatamente à alternativa B.
Resposta
B)