A distância de um ponto \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) até o ponto \mathrm{A}(3,1) é o dobro da sùa distância até o ponto \mathrm{B}(-4,1).
I- A equação -3 x^{2}-38 x-3 y^{2}+6 y-58=0 é satisfeita pelas coordenadas de P;
I I-P(x, y)=P(2,1);
III- A distância entre os pontos A e B é tal que |\overline{A B}|=7.
Dos itens acima,
A) Apenas o item I está correto.
B) Apenas os itens I e II estão corretos.
C) Apenas os itens II e III estão corretos.
D) Apenas o item II está correto.
E) Apenas os itens I e III estão corretos.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(3,1) e B(-4,1) e diz que a distância do ponto P(x,y) até A é o dobro da distância de P até B. Em seguida apresenta três afirmações a serem avaliadas:
I- A equação -3 x^{2}-38 x-3 y^{2}+6 y-58=0 é satisfeita pelas coordenadas de P.
II- P(x,y)=P(2,1) (ou seja, o ponto P seria (2,1)).
III- A distância entre A e B é |\overline{A B}|=7.
O que se pede é decidir quais dessas afirmações são corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever matematicamente a condição dada usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano. A fórmula: a distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.
Aplicando ao nosso caso, a distância de P(x,y) até A(3,1) é
\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2},
e a distância de P(x,y) até B(-4,1) é
\sqrt{(x+4)^2+(y-1)^2}.
A condição do enunciado é que a primeira seja o dobro da segunda, ou seja
\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=2\sqrt{(x+4)^2+(y-1)^2}.

Passo 3

Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado. Isso é seguro porque ambas as distâncias são números não negativos, então a igualdade é preservada ao quadrar. Ao quadrar a equação do passo anterior obtemos
(x-3)^2+(y-1)^2 = 4\bigl((x+4)^2+(y-1)^2\bigr).
Agora vamos expandir ambos os lados passo a passo.
Expansão do lado esquerdo:
(x-3)^2+(y-1)^2 = (x^2-6x+9)+(y^2-2y+1) = x^2-6x+y^2-2y+10.
Expansão do lado direito:
4\bigl((x+4)^2+(y-1)^2\bigr)=4\bigl((x^2+8x+16)+(y^2-2y+1)\bigr)=4x^2+32x+4y^2-8y+68.
Agora colocamos tudo em um lado subtraindo o lado direito do esquerdo:
x^2-6x+y^2-2y+10 - (4x^2+32x+4y^2-8y+68)=0.
Simplificando os termos semelhantes:
-3x^2 -38x -3y^2 +6y -58 = 0.
Observe que essa é exatamente a equação dada no item I. Portanto o item I é verdadeiro: a condição geométrica leva à equação dada.

Passo 4

Agora verificamos o item II que afirma P( x,y)=P(2,1), isto é, que P=(2,1).
A maneira mais direta é testar P=(2,1) na condição original (antes de quadrar) ou simplesmente comparar distâncias:
Distância de P(2,1) até A(3,1):
\sqrt{(2-3)^2+(1-1)^2}=\sqrt{(-1)^2+0}=\sqrt{1}=1.
Distância de P(2,1) até B(-4,1):
\sqrt{(2+4)^2+(1-1)^2}=\sqrt{6^2+0}=\sqrt{36}=6.
A condição exigiria 1=2\cdot 6, ou seja 1=12, o que é falso. Logo P=(2,1) não satisfaz a condição; o item II é falso.
(Segunda verificação opcional: se preferir, substitua x=2,y=1 na equação do passo 3 para ver que ela não satisfaz — mas a verificação por distâncias é mais direta.)

Passo 5

Agora verificamos o item III que afirma |\overline{A B}|=7. Calculamos a distância entre A(3,1) e B(-4,1) usando a fórmula:
Diferença em x: 3-(-4)=7. Diferença em y: 1-1=0. Então
|\overline{AB}|=\sqrt{7^2+0^2}=\sqrt{49}=7.
Portanto o item III é verdadeiro.

Passo 6

Resumindo os resultados: I é verdadeiro (a equação é exatamente a que obtivemos), II é falso ( P=(2,1) não satisfaz a condição), III é verdadeiro (a distância AB é 7). Assim os itens corretos são I e III.

Resposta

E) Apenas os itens I e III estão corretos.

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