Encontre a reta interseção de cada par de planos dados.
3 x+2 y+z=-1 \quad e \quad 2 x-y+4 z=5

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção dos planos
3x+2y+z=-1
e
2x - y +4z=5.
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3: para achar a reta de interseção precisamos de um vetor diretor (obtido pelo produto vetorial dos normais) e de um ponto comum aos dois planos (resolvendo o sistema com um parâmetro escolhido).

Passo 2

Cada plano tem um vetor normal dado pelos coeficientes de (x,y,z). Assim,
\mathbf{n}_1 = (3,2,1), \quad \mathbf{n}_2 = (2,-1,4).

Passo 3

O vetor diretor \mathbf{v} da reta é
\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} = (2\cdot4 - 1\cdot(-1),\;-(3\cdot4 -1\cdot2),\;3\cdot(-1)-2\cdot2) = (9,\,-10,\,-7).

Passo 4

Para encontrar um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) na reta, basta resolver o sistema impondo um valor a uma variável. Tomemos z=0. Então
3x+2y = -1, \quad 2x - y = 5.
Da segunda equação y=2x-5. Substituindo na primeira:
3x +2(2x-5) = -1 \;\Longrightarrow\; 7x = 9 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{9}{7}, \quad y = 2\cdot\tfrac{9}{7}-5 = -\tfrac{17}{7}.
Logo, um ponto é
P_0 = \Bigl(\tfrac{9}{7},\,-\tfrac{17}{7},\,0\Bigr).

Passo 5

A equação paramétrica da reta de interseção é
\mathbf{r}(t) = P_0 + t\,\mathbf{v} = \Bigl(\tfrac{9}{7},\,-\tfrac{17}{7},\,0\Bigr) + t\,(9,\,-10,\,-7).
Em coordenadas:
\begin{cases} x = \dfrac{9}{7} + 9t,\\[6pt] y = -\dfrac{17}{7} -10t,\\[6pt] z = -7t. \end{cases}]

Resposta

A reta de interseção pode ser escrita em forma paramétrica como
\boxed{ \begin{cases} x = \dfrac{9}{7} + 9t,\\\ y = -\dfrac{17}{7} -10t,\\\ z = -7t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}. }

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