Dê exemplos de sistemas homogêneos com m equações lineares, em n variáveis com m=n e com m> n, que tenham
uma única solução

Passo 1

O enunciado pede exemplos de sistemas homogêneos \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0} que tenham apenas a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Sabemos que um sistema homogêneo tem solução única exatamente quando a matriz de coeficientes \mathbf{A} tem posto igual ao número de variáveis n. Vamos dar um exemplo para o caso m=n (mesmo número de equações e variáveis) e para m>n (mais equações do que variáveis).

Passo 2

Escolhendo m=n=2\), basta tomar uma matriz invertível \(2\times2\). Por exemplo, o sistema \[\begin{cases} 2x + 3y = 0,\\\\ 5x - 2y = 0 \end{cases}
tem matriz de coeficientes
\begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ 5 & -2 \end{pmatrix},
cujo determinante é (2\cdot(-2)-5\cdot3=-4-15=-19\neq0]. Logo o posto é 2 e a única solução é
x=0,\quad y=0.

Passo 3

Escolhendo m=3\) e \(n=2\), precisamos que a matriz \(3\times2\) tenha posto 2 (o máximo possível). Por exemplo, o sistema \[\begin{cases} x + y = 0,\\\\ 2x - y = 0,\\\\ 3x + 4y = 0 \end{cases}
tem as duas primeiras equações já formando uma matriz 2\times2\] invertível (determinante \(1\cdot(-1)-2\cdot1=-3\neq0), de modo que a única solução das duas primeiras é x=y=0. A terceira equação fica 3\cdot0+4\cdot0=0, automaticamente satisfeita. Portanto o posto da matriz 3\times2 é 2 e a única solução é trivial.

Resposta

Para m=n=2\): \[\begin{cases} 2x + 3y = 0,\\\\ 5x - 2y = 0 \end{cases} \quad\text{(única solução }x=0,y=0\text{).}
Para m=3\], \(n=2:
\begin{cases} x + y = 0,\\\\ 2x - y = 0,\\\\ 3x + 4y = 0 \end{cases} \quad\text{(única solução }x=0,y=0\text{).}úçã

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