Para que valor(es) de k, se houver, o sistema terá (a) nenhuma solução, (b) uma única solução e (c) infinitas soluções?
x-2 y+3 z=2 x+y+z=k
2 x-y+4 z=k^{2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x - 2y + 3z = 2,\\\ x + y + z = k,\\\\ 2x - y + 4z = k^2, \end{cases}
onde k é parâmetro. O conteúdo envolvido é análise de sistemas lineares com matriz de coeficientes singular, então teremos de usar determinante para verificar caso de solução única e dependência linear para condição de consistência.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}
e calculamos \det A. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores,
\det A =1\cdot\bigl(1\cdot4 - 1\cdot(-1)\bigr) -(-2)\cdot\bigl(1\cdot4 - 1\cdot2\bigr) +3\cdot\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot2\bigr) =5 +4 -9 = 0.
Como \det A=0, o sistema não pode ter solução única.

Passo 3

Para estudar consistência, procuramos uma combinação linear nas linhas de A\). Seja \[\alpha\,(1,-2,3)+\beta\,(1,1,1)=(2,-1,4).
Pelos coeficientes de x,y,z obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=2,\\\\ -2\alpha+\beta=-1,\\\\ 3\alpha+\beta=4. \end{cases}
Da primeira equação \beta=2-\alpha\]. Substituindo na segunda dá \(\alpha=1 e então \beta=1. A terceira checa corretamente.

Passo 4

Essa mesma combinação deve valer para os termos independentes, ou seja,
\alpha\cdot 2 + \beta\cdot k = k^2 \quad\Longrightarrow\quad 2 + k = k^2.
Isso leva à equação
k^2 - k - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (k-2)(k+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad k=2\text{ ou }k=-1.

Passo 5

Conclusões sobre os casos:
  • Se k=2 ou k=-1, o sistema é consistente com posto igual a 2 (❤️) e, portanto, tem infinitas soluções.
  • Se k\neq 2 e k\neq -1, o posto da matriz aumentada é 3 enquanto o de A é 2, logo o sistema é incompatível (nenhuma solução).
  • Não existe valor de k que torne \det A\neq 0, então nunca há solução única.

Resposta

(a) Nenhuma solução para todo k\neq 2 e k\neq -1.
(b) Não há valor de k que forneça exatamente uma solução.
(c) Infinitas soluções para k=2 ou k=-1.

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