Encontre a reta normal à curva y=x^{\wedge} 3 no ponto (2,8).

Passo 1

O enunciado dá a curva y=x^{3} e o ponto (2,8). O que se pede é a equação da reta normal à curva nesse ponto.
Informações relevantes:
\quad a curva: y=x^{3}
\quad o ponto onde queremos a normal: (2,8)

Passo 2

Entender o que é a reta normal: a reta normal num ponto de uma curva é a reta que é perpendicular à reta tangente da curva naquele ponto.
Para achar a reta normal, primeiro precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto; essa inclinação é dada pela derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada em x do ponto.
Lembrando a definição da derivada (intuição):
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas usamos a regra do poder (power rule) como atalho prático: para f(x)=x^{n},
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aqui n=3, então aplicamos essa regra.

Passo 3

Calcular a derivada da função y=x^{3} usando a regra do poder:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Expliquei: multiplica-se por 3 e diminui-se o expoente de 3 para 2.

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto x=2 para obter a inclinação da tangente:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12.
Logo, a inclinação da reta tangente em (2,8) é 12.

Passo 5

Relacionamento entre inclinações de retas perpendiculares: se duas retas não são verticais e têm inclinações m_{1} e m_{2}, elas são perpendiculares se, e somente se,
m_{1}\cdot m_{2}=-1.
Portanto, se a tangente tem inclinação m_{\text{t}}=12, a inclinação da normal será o negativo do recíproco:
m_{\text{n}}=-\frac{1}{12}.

Passo 6

Usar a forma ponto-inclinação da equação da reta para a normal. A fórmula ponto-inclinação é
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto dado e m é a inclinação. Substituindo (x_{0},y_{0})=(2,8) e m=-\dfrac{1}{12}:
y-8=-\frac{1}{12}(x-2).
Agora simplificamos para a forma mais comum. Primeiro expandir o lado direito:
y-8=-\frac{1}{12}x+\frac{2}{12}=-\frac{1}{12}x+\frac{1}{6}.
Somando 8 em ambos os lados (escrevendo 8=\dfrac{48}{6}) obtemos
y=-\frac{1}{12}x+\frac{1}{6}+8=-\frac{1}{12}x+\frac{49}{6}.

Resposta

y=-\dfrac{1}{12}x+\dfrac{49}{6}

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