Calcule a derivada de y, usando derivação implícita:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. As informações relevantes são:
-
e aparecem na mesma equação; é vista como função de (mesmo que não esteja isolada). - A equação relaciona
e pelos quadrados: . - Queremos encontrar uma expressão para
válida quando for possível (ou seja, quando não houver divisão por zero na expressão final).
Passo 2
Vamos lembrar uma coisa importante sobre derivadas: quando uma variável depende de outra (aqui
depende de
), ao derivar uma expressão que contém
devemos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia, em palavras simples:
- Se temos uma função composta
, então
No nosso caso,
é uma função de
, e
é função de
. Portanto ao derivar
em relação a
fazemos: derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos por
(que é
). Assim
Isso é fundamental para entender por que aparece um fator
.
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados da equação
termo a termo em relação a
.
Derivada do primeiro termo
:
conforme explicado pela regra da cadeia.
Derivada do segundo termo
:
porque aqui
é a variável independente.
Derivada do lado direito
:
Passo 4
Juntando as derivadas dos termos, obtemos a igualdade
Agora apenas vamos isolar
.
Passo 5
Isolando
na equação
:
Primeiro subtraímos
de ambos os lados:
Agora dividimos ambos os lados por
(aqui assumimos
; se
trataremos o caso separadamente):
Passo 6
Conclusão e observações importantes:
- A expressão encontrada é
- Essa fórmula é válida desde que
. Se (isto é, nos pontos que pertencem à curva), a derivada fornecida por essa fórmula não está definida — nesses pontos a curva tem tangente vertical (ou a derivada pode não existir). - Podemos checar que está correto isolando explicitamente
e derivando: para ,
e o mesmo vale para o ramo negativo. Então a verificação bate.
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para ganhar confiança:
- No ponto
, temos : tangente horizontal. - Próximo a
a expressão dá divisão por zero, sinalizando tangente vertical naquele ponto.