Calcule a derivada de y, usando derivação implícita:
y^{\wedge} 2+x^{\wedge} 2=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^{2}+x^{2}=1
e pede para calcular a derivada de y em relação a x, ou seja, \dfrac{dy}{dx}. As informações relevantes são:
  • x e y aparecem na mesma equação; y é vista como função de x (mesmo que não esteja isolada).
  • A equação relaciona x e y pelos quadrados: y^{2}+x^{2}=1.
  • Queremos encontrar uma expressão para \dfrac{dy}{dx} válida quando for possível (ou seja, quando não houver divisão por zero na expressão final).

Passo 2

Vamos lembrar uma coisa importante sobre derivadas: quando uma variável depende de outra (aqui y depende de x), ao derivar uma expressão que contém y devemos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia, em palavras simples:
  • Se temos uma função composta h(x)=f(g(x)), então
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso, y^{2} é uma função de y, e y é função de x. Portanto ao derivar y^{2} em relação a x fazemos: derivada de u^{2} em relação a u é 2u, e depois multiplicamos por du/dx (que é dy/dx). Assim
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx}.
Isso é fundamental para entender por que aparece um fator \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados da equação \;y^{2}+x^{2}=1\; termo a termo em relação a x.
Derivada do primeiro termo y^{2}:
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx},
conforme explicado pela regra da cadeia.
Derivada do segundo termo x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,
porque aqui x é a variável independente.
Derivada do lado direito 1:
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 4

Juntando as derivadas dos termos, obtemos a igualdade
2y\cdot\frac{dy}{dx}+2x=0.
Agora apenas vamos isolar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dx} na equação 2y\cdot\dfrac{dy}{dx}+2x=0:
Primeiro subtraímos 2x de ambos os lados:
2y\cdot\frac{dy}{dx}=-2x.
Agora dividimos ambos os lados por 2y (aqui assumimos y\neq 0; se y=0 trataremos o caso separadamente):
\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}=-\frac{x}{y}.

Passo 6

Conclusão e observações importantes:
  • A expressão encontrada é
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
  • Essa fórmula é válida desde que y\neq 0. Se y=0 (isto é, nos pontos (x,y)=(\pm 1,0) que pertencem à curva), a derivada fornecida por essa fórmula não está definida — nesses pontos a curva tem tangente vertical (ou a derivada pode não existir).
  • Podemos checar que está correto isolando explicitamente y=\pm\sqrt{1-x^{2}} e derivando: para y=+\sqrt{1-x^{2}},
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\frac{x}{y},
e o mesmo vale para o ramo negativo. Então a verificação bate.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para ganhar confiança:
  • No ponto (0,1), temos \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{0}{1}=0: tangente horizontal.
  • Próximo a (1,0) a expressão dá divisão por zero, sinalizando tangente vertical naquele ponto.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

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