Encontre as seguintes integrais usando integrais imediatas
\int\left(x^{2}-3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}-3 x\right) d x.
Informações dadas: a função a ser integrada é x^{2}-3x e estamos procurando uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}-3x. Não há outras condições (por exemplo, valor inicial), então a solução virá com uma constante de integração C.

Passo 2

Regra de linearidade das integrais (fórmulas que vamos usar):
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
e, para a constante,
\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Aqui f(x) e g(x) são funções quaisquer; essas propriedades dizem que podemos separar somas e puxar constantes para fora da integral. Isso é útil para decompor a integral em partes mais simples.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso integrando:
\int\left(x^{2}-3x\right)\,dx = \int x^{2}\,dx - 3\int x\,dx.
Expliquei: separei a soma e puxei o coeficiente -3 para fora da integral.

Passo 4

Regra da potência (power rule) para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é um número real que indica o expoente da potência; a fórmula produz uma função cuja derivada volta a ser x^{n}. A constante C é a constante de integração, que aparece porque derivadas “perdem” constantes.

Passo 5

Aplicando a regra da potência em \int x^{2}\,dx: aqui n=2, então
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C_1,
onde C_1 é uma constante (no final juntamos todas as constantes em uma só).

Passo 6

Aplicando a regra da potência em \int x\,dx: aqui n=1, então
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_2.
Multiplicando pelo -3 que tínhamos fora da integral:
-3\int x\,dx = -3\cdot\frac{x^{2}}{2} + (-3)C_2 = -\frac{3x^{2}}{2} + C_3,
onde C_3 é outra constante. Novamente, todas as constantes serão combinadas no final.

Passo 7

Somando os resultados das duas partes (e combinando as constantes C_1 e C_3 numa única C):
\int\left(x^{2}-3x\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + C.

Passo 8

Checagem rápida (diferenciação) para ter certeza: calcule a derivada de F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+C.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\left(-\frac{3x^{2}}{2}\right)=-3x,\qquad \frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Somando: x^{2}-3x, que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 9

Comentário final e incentivo: o método foi separar a soma, aplicar a fórmula da potência em cada termo e lembrar da constante de integração. Você consegue fazer isso rápido na prova — pratique mais alguns exemplos parecidos e vai pegar o jeito. Por exemplo, integrar \int(2x^{3}+5)\,dx segue o mesmo processo: \frac{2x^{4}}{4}+5x+C=\frac{x^{4}}{2}+5x+C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+C

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