Encontre as seguintes integrais usando integrais imediatas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a ser integrada é
e estamos procurando uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras condições (por exemplo, valor inicial), então a solução virá com uma constante de integração
.
Passo 2
Regra de linearidade das integrais (fórmulas que vamos usar):
e, para
constante,
Aqui
e
são funções quaisquer; essas propriedades dizem que podemos separar somas e puxar constantes para fora da integral. Isso é útil para decompor a integral em partes mais simples.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso integrando:
Expliquei: separei a soma e puxei o coeficiente
para fora da integral.
Passo 4
Regra da potência (power rule) para integrais: para qualquer
,
Aqui
é um número real que indica o expoente da potência; a fórmula produz uma função cuja derivada volta a ser
. A constante
é a constante de integração, que aparece porque derivadas “perdem” constantes.
Passo 5
Aplicando a regra da potência em
: aqui
, então
onde
é uma constante (no final juntamos todas as constantes em uma só).
Passo 6
Aplicando a regra da potência em
: aqui
, então
Multiplicando pelo
que tínhamos fora da integral:
onde
é outra constante. Novamente, todas as constantes serão combinadas no final.
Passo 7
Somando os resultados das duas partes (e combinando as constantes
e
numa única
):
Passo 8
Checagem rápida (diferenciação) para ter certeza: calcule a derivada de
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Somando:
, que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 9
Comentário final e incentivo: o método foi separar a soma, aplicar a fórmula da potência em cada termo e lembrar da constante de integração. Você consegue fazer isso rápido na prova — pratique mais alguns exemplos parecidos e vai pegar o jeito. Por exemplo, integrar
segue o mesmo processo:
.