Encontre as seguintes integrais usando integrais imediatas
\int\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas importantes:
\text{(i) A variável de integração é }x.áçãé
\text{(ii) O integrando é }x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}.é
\text{(iii) Observação sobre domínio: a expressão }\dfrac{1}{x^{2}}\text{ está indefinida em }x=0,\text{ então devemos ter }x\neq 0.çãíãáã
Não resolvemos nada ainda — só listei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Princípio que vamos usar: a linearidade da integral. Isso significa que, para funções f e g,
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Isto é muito útil porque permite separar a soma em duas integrais mais simples. Exemplo rápido: \int (2x+3)\,dx=\int 2x\,dx+\int 3\,dx.

Passo 3

A regra principal que chamamos de “integrais imediatas” aqui é a regra da potência:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad\text{para }n\neq -1,
onde n é um número real que indica o expoente e C é a constante de integração (porque integrais indefinidas têm infinitas primitivas que só diferem por uma constante). Para o caso n=-1 (ou seja, \int x^{-1}\,dx) a fórmula muda e temos
\int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert + C.
A razão para essa exceção é que, se você aplicasse a fórmula da potência com n=-1, dividiria por zero.

Passo 4

Primeiro reescrevemos a parte \dfrac{1}{x^{2}} como potência:
\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Então separemos a integral usando linearidade:
\int\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int x^{-2}\,dx.

Passo 5

Calculemos a primeira integral usando a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C_{1}=\frac{x^{3}}{3}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante parcial (no final juntamos as constantes).

Passo 6

Agora a segunda integral com n=-2:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_{2}=\frac{x^{-1}}{-1}+C_{2}=-x^{-1}+C_{2}.
Reescrevendo em forma de fração, -x^{-1}=-\dfrac{1}{x}.

Passo 7

Somando as duas primitivas (e combinando as constantes C_{1} e C_{2} numa única constante C), obtemos
\int\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+C.

Passo 8

Verificação rápida por derivação (para ter certeza): derivando a primitiva \dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{1}{x} temos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2},
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right)=-1\cdot(-1)x^{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.
Somando: x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}, que é justamente o integrando. Perfeito!

Passo 9

Resumo prático para a prova: sempre transforme potências negativas em x^{n}, separe soma em soma de integrais e aplique a regra da potência. Lembre-se do caso especial n=-1 (logaritmo). Você já tem a resposta e uma maneira direta de chegar nela no tempo de prova — respira fundo, pratica esse padrão mais uma ou duas vezes e vai na boa!

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+C

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