Encontre as seguintes integrais usando integrais imediatas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas importantes:
Não resolvemos nada ainda — só listei o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Princípio que vamos usar: a linearidade da integral. Isso significa que, para funções
e
,
Isto é muito útil porque permite separar a soma em duas integrais mais simples. Exemplo rápido:
.
Passo 3
A regra principal que chamamos de “integrais imediatas” aqui é a regra da potência:
onde
é um número real que indica o expoente e
é a constante de integração (porque integrais indefinidas têm infinitas primitivas que só diferem por uma constante). Para o caso
(ou seja,
) a fórmula muda e temos
A razão para essa exceção é que, se você aplicasse a fórmula da potência com
, dividiria por zero.
Passo 4
Primeiro reescrevemos a parte
como potência:
Então separemos a integral usando linearidade:
Passo 5
Calculemos a primeira integral usando a regra da potência com
:
onde
é uma constante parcial (no final juntamos as constantes).
Passo 6
Agora a segunda integral com
:
Reescrevendo em forma de fração,
.
Passo 7
Somando as duas primitivas (e combinando as constantes
e
numa única constante
), obtemos
Passo 8
Verificação rápida por derivação (para ter certeza): derivando a primitiva
temos
Somando:
, que é justamente o integrando. Perfeito!
Passo 9
Resumo prático para a prova: sempre transforme potências negativas em
, separe soma em soma de integrais e aplique a regra da potência. Lembre-se do caso especial
(logaritmo). Você já tem a resposta e uma maneira direta de chegar nela no tempo de prova — respira fundo, pratica esse padrão mais uma ou duas vezes e vai na boa!